1有限元法

1有限元法内容摘要：

    55 55 2 3,22 3,2   fk    3 4,33 4,3    fk      55 55 4 5,44 5,4 fk   0 .10 .10 .20 .20 .10 .10 .10 .1 55555555 fk 2. 一维有限元法 整个问题的代数方程组： 0 . 10 . 30 . 30 . 20 . 1 5551055554321      bfK  称为有限元 刚度矩阵 ， 但不能直接求解 ，需要消去1行、 1列。  2. 一维有限元法 由边界条件对整个问题的代数方程组消元： 由问题的边界条件，第 5 个节点电位为 ，已知，故消去该节点的方程： 5行 5列。 必有这一步，实际上原 K矩阵行列式的值为 0， 本质上是找参考电位 5105554321 4321由于参考电位为 ，所以 1－ 4号节点计算值 + 1 54321有限元计算与真解比较：  2. 一维有限元法 20112 0 50 1 xxn.212x真解： 节点处与真解相等，节点间、单元内有误差，显然剖分越密，误差越小 1 54321有限元法小结：  2. 一维有限元法 有限元法是针对加权余数法和变分法将偏微分方程转变为代数方程后的后续方法，它将代数方程系数矩阵的构成规范化，以便于计算机处理 有限元法首先要对场域单元化（剖分），并编号。 求解变为求节点的位函数值 各单元内系数矩阵对整体系数矩阵的贡献形式相同（尝试函数在局部坐标下形式相同，待定系数就是节点位函数值）（只与单元坐标有关）（便于计算机重复计算） 最后封装整体系数矩阵，并消去参考节点的行、列，求解矩阵方程即可。 仍然以一个静电场例子 ， 讲二维有限元：  3. 二维有限元法 间轴传输线，两个同芯长方形导体之间充满线性介质，两导体间加有直流电压 10v，导体间贮有电荷，传输线的长度远远大于其截面，可认为电场在传输线各个截面上的分布都相同，只需求解电场在某个截面的分布。 场域剖分  3. 二维有限元法 原则上讲，二维有限元可以取为各种多边形，如三角形、四边形等等。 与其它多边形相比，三角形具有以下两个优点： (1)描述二维三角形的多项式有 3项，该数目与三角形的顶点数以及节点上未知量的个数恰好相同，因而使得多项式形函数的利用率最高。 (2)三角形形状简单，能十分便利地表示复杂的几何结构。 把两个要求解的量联系起来，有限元中 令待定系数就是节点电位 ， 当然尝试函数要重新确定       bfK  任意单元内节点尝试函数的选取：  3. 二维有限元法 任意三角形单元由节点 i， j， k构成，每个节点的尝试函数（三角形平面）选择的规律一样： 如 i节点：在 i点处为 1，在 j， k节点处为 0，从而构成单元 e内的尝试函数 i节点尝试函数的表达式：  3. 二维有限元法 i代入平面方程确定平面参数 ：（用矩阵形式作规范化求解） yxcybxaZ eieieiei  平面方程：)0,()0,()1,( kkjjii yxkyxjyxl ；；平面过三个点：ky。