[研究生入学考试]考研数学超强题型总结_不怕你考不了高分

[研究生入学考试]考研数学超强题型总结_不怕你考不了高分内容摘要：

0220   xaxxaxxx= .6213lim 220 axaxx  4s in1lim)(lim)00( 200 xxaxxexff axxx  = .422 2lim41lim4 20220   axaxaex axxe axxaxx 令 )00()00(  ff ，有 426 2  aa ，得 1a 或 2a . 当 a=1 时， )0(6)(lim0 fxfx ，即 f(x)在 x=0 处连续 . 当 a=2 时， )0(12)(lim0 fxfx ，因而 x=0 是 f(x)的可去间断点 . 例 5： 确定 ba, 的值，使得)1)(()(   xax bexfx 有第二类间断点 0x 及可去间断点 1x。 【解】 Axax bexfxxx  )1)((lim)(lim 11 常数 0lim1  ）（ be xx， eb ， 0a    )1)((lim)(lim 00 xax eexf xxx 14 第三讲 导数与微分法研究 教学 目的 通过教学使学生掌握导数的定义，导数的几何意义及微分的概念，熟练掌握导数的各种求导方法。 重 点 难 点 1． 隐函数的导数求法 2． 参数方程 确定的函数的导数求法 3． 形如 )()( xgxfy  的函数的导数求法――取对数求导法 ４ . 变动上线的积分表示的函数的导数 教 学 提 纲 一、基本概念 1．导数及其变形 2．分段函数的导数通过左右导数来求 ３ .导数的几何意义 二、求导方法 １ .求导公式及其应用 ２ .复合函数求导法 ３．隐函数的导数求法 4．参数方程确定的函数的导数求法 5．极坐标方程表示的的函数的导数求法 ６．形如 )()( xgxfy  的函 数的导数求法――取对数求导法 ７．分段函数的导数 ８．变动上线的积分表示的函数的导数 15 第三讲 导数与微分法研究 一元函数的导数与微分是微积分的基础，经常出选择题与填空题，可作为求极限、求驻点、求拐点、求多元函数的偏导数与全微分等问题的基础。 重点掌握分段函数的导数、隐函数的导数、参数（极坐标）方程确定的函数的导数。 变动上限的积分表示的函数的导数每年都考。 一、基本概念 1．导数及其变形 h xfhxfx xfxxfxx xfxf hxxx )()(lim)()(lim)()(lim 0000000 00    例 1： 设 )(xf 在 0x 可导，求 (1) h xfhxfh)()3(lim 000， (2) h hxfhxfh)2()2(lim 000 (3) )]21()1([lim000 nxfnxfnn  2．分段函数的导数通过左右导数来求 例 2： 设 )(),(||)( xxaxxf  在 ax 连续，文在什么条件下 )(xf 在 ax 可导。 【解】 )()(lim)()(lim axax afxfaxax    )()(lim)()(lim axax afxfaxax    当 )()( aa   ，即 0)( a 时， )(xf 在 ax 可导。 【讨论】 ||)( xxf  ， ||)( xxxf  ， |1|)1)(1()( 2  xxxxxf 分别有几个不可导点。 例 3： 已知函数   11)( 2 xbax xxxf 处处可导，试确定 ba、 的值。 【解】 (1)欲使 )(xf 在 1x 处可导，必先在 1x 处连续， 故有 )1()(lim)(lim11 fxfxf xx   ，即 1ba （ 2）又 )(xf 在 1x 处的左、右导数分别为 21)1(lim)1( 20    xxf x ， axxax bxaf xx     00 lim1)1(lim)1( ， 故 2a ，从而 1b ，所以，当 2a ， 1b 时 )(xf 处处可导。 ３ .导数的几何意义 设函数 )(xfy 在点 0x 的导数存在，为 )(39。 0xf ，则导数值为函数 )(xfy 上一点（ 0x ， )( 0xf ）处的切线的斜率。 此时，切线方程为： ))((39。 000 xxxfyy  ；法线方程为：0001 ()39。 ( )y y x xfx   。 例 4： 求 2xy 的切线方程，使此切线与直线 1xy 的斜率相同。 【解】设切点为（ 0x ， 0y ），则有： 200 xy  ， 16 由已知，切线斜率与 1xy 相同，则 1|39。 0xy， 可解得：210x，410 y 切线方程为：2141  xy 即41xy。 例 5： 函数 )(xfy 由方程 4ln2 yxxy  确定，求 )(xfy 在 )1,1( 处的切线方程。 【解】略 设函数  xfy 在某区间内有定义， 0x 及 xx 0 在这区间内，如果因变量的增量   00 xfxxfy  可表示为  xxAy  0 ，其中 A 是不依赖于 x 的常数，而  x0 是0x 时比 x 高阶的无穷小，那么称函数  xfy 在点 0x 是可微的。 而 xA 叫做函数  xfy 在点 0x 相应于自变量增量 x 的微分，记作 dy。 即 xAdy 。 二、求导方法 １ .求导公式及其应用 (略 )２ .复合函数求导法（略）３．隐函数的导数求法 例 6： 求由方程 0sin21  yyx 所确定的隐函数  xfy 的二阶导数22dxyd 【解】两边对 x 求导得： 0cos21  yyy „„„ „„„„„„„ （ *） yy cos2 2由此得    3222c o s2 s in4c o s2 s in2c o s2 2 yyy yyydxddx yd    方法二 ：对（ * ） 式 再 两 端 求 导 得 ：   0s inc os21  yyyyyy   3222c o s2s i n4c o s2s i nc o s2 2c o s2s i nc o s211s i n21yyyyyyyyyyyy  4．参数方程确定的函数的导数求法 （ 1）若参数方程   ty tx 确定 x 与 y 之间函数关系，则称此函数为由参数方程所确定的函数。 （ 2） 计算导数的方法      ttdtt dttdxdy   ， dxddxyd dxdy22 例 7:函数 )(xfy 由参数方程tyudux tasinsin 确定，求 dxdy ， 22dxyd 【解】  td tdy td tdx c o ssin tdxdy cot 17 tdtdxdyd 2csc)(  tdx yd 322 sin1 例 8:函数 )(xfy 由方程   1sin 222yyt ttx确定，求 22dxyd 【解】略 5．极坐标方程表示的的函数的导数求法 设极坐标方程为 )(＝ ，化为直角坐标    sin)( cos)(yx，进一步转化为直角坐标求解。 例 9: 函数 )(xfy 的极坐标方程为  2e＝ ，求dxdy 【解】  sincos22ey ex     dedy dedx )c o ss in2( )s inc o s2(22   cossin2 sincos2 dxdy ６．形如 )()( xgxfy  的函数的导数求法――取对数求导法 例 10: xxy cos)1(sin ＝ ，求 dxdy 【解】 )1ln(s inc o sln xxy＝ 方程两边关于 x 求导 1s inc o s)1ln ( s ins in12 x xxxyy ＝   1s inc o s)1ln ( s ins in)1( s in 2c o s x xxxxy x＝ 7．分段函数的导数 分段函数的导数在分段点通过左右倒数来讨论。 例 11:设 000)()(xxx exgxf x， )(xg 有二解连续的导数， ,1)0( g ,1)0( g 求 )(xf 【解】 当 0x 时 2 )(])([)( x exgxexgxfxx   当 0x 时 2 1)0(2)(lim2)(lim)(lim)0( 0020   gexgx exgx exgf xxxxxx )(xf 连续，若  xa dttfxF )()(，则 )()( xfxF  18 例 12： 求导数 （ 1） xxa t exdtetdxd )2c os ()2c os (  （ 2） xx t exdtetdxd 232 )4c os (2)2c os (  （ 3） xxxx t exexxdtetdxd 222 )2c os (2)c os (2)2c os (22  （ 4） xxaxa ttxa t exxdtetdxddtetxxdxddtetxdxd )2c o s ()2c o s (])2c o s ([)2c o s (    （ 5） 10 )()( dttxfdxdxf 是连续函数，求   x dyyfxdttxftxy 010 )(1)(, 则令 所以， )(1)(1)(0210 xfxdyyfxdttxfdxdx  例 13： 设 )(xf 可导， 4)1()(  xfxxf ，并且   10 0 )1()( x dttfdtxtf xxx 223  求 )(xf 【解】   x dyyfxdttxftxy010 )(1)(, 则令 代入   10 0 )1()( x dttfdtxtfxxx 223  得   x x dttfxdttf0 0 )1()(234 2xxx  两边两次求导 xxxf 36)1( 2  9156)( 2  xxxf 例 14： 设函数 f(x)连续，且 0)0( f ，求极限 .)()()(lim000  xxx dttxfxdttftx 【解】 由于     000 )())(()( x xxutx duufduufdttxf ,于是    xx xxxxx duufxdtttfdttfxdttxfxdttftx00 00000 )()()(lim)()()(lim = xxx xxfduufxxfxxfdttf000 )()()()()(lim = xxx xxfduufdttf000 )()()(lim = = .)0()( )(0 xfxf xflinx。