[研究生入学考试]微积分总结、复习

[研究生入学考试]微积分总结、复习内容摘要：

数的方法。 1．代入法 某一个函数中的自变量用另一个函数的表达式来替代，这种构成复合函数的方法，称之为代入法，该法适用于初等函数的复合，关健搞清谁是内函数，谁是外函数。 2．分析法 根据外函数定义的各区间段，结合中间变量的表达式及中间变量的定义域进行分析，从而得出复合函数 的方法，该方法用于初等函数与分段函数或分段函数与分段函数的复合。 例 8 设       .,1 2     次求 nn xfffxfxxxf . 15 解          22222222 21111111 xxxxxxxfxxxfxfxffxf ，            xf xfxffxfffxf 22223 1  22223121121xxxxxx ， 猜想  21 nxxxfn 。 当 n=1 时，结论已成立，假设 n=k 时，  21 kxxxfk 成立，当 n=k+1 时，       22221 11111xkxkxxkxxxffxf kk 。 即 n=k+1 时结论成立，故  21 nxxxfn 。 例 9 设     xffxxxf 求,1,0,1,1。 解 当        11,1,1  fxffxfx 时 ， 当        10,0,1  fxffxfx 时。 故 f(f(x))=1。 例 10 设       xfxx xxxxx xexf x  求    ,0,1 ,0, ,1,2。 解 由            .1, ,1, xx xexf x    （ 1）当   1x 时 或   1,1,0,12,0   xxxxxx 有即。 16 或   .20,22 ,0,11,0 2    xxxxxx 有即 （ 2）当  1x 时 或   01,1,0,12,0   xxxxxx 有即。 或   .2,22,0,11,0 2   xxxxxxx 有或即得    2,1,20,01,2 ,1,2122xxxexx xexfxx 六、判断奇偶函数的方法 偶函数 f(x)的图象关于 y 轴对称；奇函数 f(x)的图象关于原点对称。 奇偶函数的运算性质 1. 奇函数的代 数和仍为奇函数，偶函数的代数和仍为偶函数。 2. 偶数个奇（偶）函数之积为偶函数；奇数个奇函数的积为奇函数。 3. 一奇一偶的乘积为奇函数 4. 两个奇函数复合仍为奇函数，一奇一偶复合为偶函数，两个偶函数复合仍为偶函数。 判断方法 1．用定义 2． .若 f(x)+f(x)=0，则 f(x)为奇函数，这种方法适合用定义比较困难的题目。 例 11 判断下列函数的奇偶性： （ 1）      3 23 2 11 xxxf  ； （ 2）   xxxf  11ln ； （ 3）   2111 xaxf（ a0,a≠ 1 常数） 解（ 1）由             xfxxxxxf  3 23 23 223 1111 ，知 f(x)为偶函数 （ 2）由       xxxxxfxf   11ln11ln ,01ln1111ln11ln11ln  xxxxxxxx 知 f(x)为奇函数。 （ 3）由  211112111   xx aaxf 2111211  xxx aaaa 17  xfaaa aa xxx xx   2111211 1211 1，知 f(x)为奇函数 七、周期函数的判断与周期的求法 1．周期函数周期的求法 （ 1）若 T 为 f(x) 的周期，则 f(ax+b)的周期为  0aaT （ 2）若 f(x)的周期为 T1， g(x)的周期为 T2，则 c1f(x)+c2g(x)的周期为 T1， T2 的最小公倍数。 2．周期函数的判断方法。 （ 1）用定义。 （ 2）用周期函数的运算性质。 常见函数的周期： sinx,cosx,其 周期 T=2π ； ,c o s,sin,c o t,ta n xxxx 其周期 T=π。 例 12 求下列函数周期 （ 1）   3ta n32ta n2 xxxf  ； （ 2）   xxxf 44 co ssin  ； （ 3）    xxxf 。 解（ 1）由 2tanx 的周期  2211 T， 3tanx 的周期  3312 T。 故 f(x)的周期性期为 6π。 （ 2）由     xxxxxf 22222 c o ss in2c o ss in   xx 4c os14112s in211 2  x4cos4143  ，知 f(x)的周期  2142 T。 （ 3）设   Znrrnx  ，10 ， T 为任意整数 ,由             xfrnrnrnTrTnrTnrTnrTnfTxf 知任意整数均为其周期，则最小周期 T=1。 例 13 若函数    xxf 的图形关于两条直线 x=a和 x=b对称（ ba），则 f(x)为周期函数。 证 由条件函数的对称性知    xafxaf  ， （ 1）    xbfxbf  ， （ 2） 故函数在 a,b 中点 (a+b)/2 处的值等于点 a 2ab /和 2abb  处的函数值 从而猜想如果 f(x)为周期函数，则周期应为  ababaabb    222。 18 事实上      abxbfabxf 22      xafabxbf  22        xfxaafxaaf  所以 f(x)是以 2(ba)为周期的周期函数。 八、单调函数的判断方法 1．用定义。 2．利用单调函数的性质。 （ 1）两个递减（增）函数的复合是递增函数，一个递增、一个递减函数的复合是递减 函数。 例 14 设    xx  , 及 f(x)为递增函数证明：若      xxfx   （ 1） 则         xxffx   （ 2） 证 设 x0 为三个函数公共域内的任一点，则      000 xxfx   由（ 1）以及函数 f(x)的递增性知      00 xffxf  ，      00 xfx   ； 从而      00 xffx  同理可证      00 xxff 。 由 x0 的任意性知，于是（ 2）式成立。 九、函数有界性的判断 判断函数是否有界，经常用定义。 例 15 判断下列函数是否有界： （ 1）  21 xxxf  ； （ 2）    1,0,12  xxxf。 解（ 1）由 f(x)的定义域是 R。 当  21211,0 22  xxxxxxxfx 时，当     210,00,0  ffx 有时 ， 知   21,  xfRx 时 ，所以 f(x)为有界函数。 （ 2）  1,011,0 0  MxM 取。   .111110 MMMMxf  由无界函数的定义知 f(x)在（ 0， 1）上无界。 19 第二节 函数极限与连续 167。 函数极限内容网络图 )(lim)(lim)(lim)(lim00xfxfAxfAxfxxxxxx函数极限定义 四则运算保号性不等式有界性唯一性性质 , 夹逼定理 判断函数极限存在准则 单调有界定理 单侧极限与双侧极限 函数极限与数列极限 —— 归结原则。 关系定理 函数极限与无穷小 无穷大与无穷小 无穷小的阶 —— 高阶 、同阶、等价。 函数连续定义 —— 0lim)()(lim000   yxfxf xxx 或 可去间断点 第一类间断点 跳跃间断点 间断点分类 第二类间断点 167。 一、函数极限的概念 1. 都有时当若存在一个常数 ,0,0,:)(lim XxXAAxfx  Axf )(。 2. :)(lim Axfx 把 1 中“ Xx ”换成“ Xx  ”。 闭区间上连续函数的性质 初等函数在其定义域内的 闭区间上连续 最大（小）值定理 零值点定理（根的存在定理） 介值定理 函数极限与连续 20 3． :)(lim Axfx 把 1 中“ Xx ”换成“ Xx ”。 定理  Axfx )(lim Axfx  )(lim且 .)(lim Axfx  4． :)(lim0 Axfxx 设 )(xf 在 0x 的某空心邻域内  00 xU 有定义，若存在一个常数 A，时当   00,0,0 xx，都有 Axf )(。 5． :)(lim0 Axfxx  设 )(xf 在 0x 的某左半邻域 )( 00 xU 内有定义，若存在一个常数 A，0,0,0 0  xx 当时，都有 Axf )(。 此 时 也 可 用 记 号 )0( 0xf 或 )( 0xf 表 示 左 极 限 值 A ，因此可写成   )(lim)0()(lim 00 0 xfxfxf xxxx 或)( 0xf 6. :)(lim0 Axfxx 设 )(xf 在 0x 的某右半邻域 )( 00 xU 内有定。