20xx考研必备：超经典的考研数学考点与题型归类分析总结要点

20xx考研必备：超经典的考研数学考点与题型归类分析总结要点内容摘要：

题目给出的幂级数的形式就可以看个八九不离十了，比如给出的幂级数带阶乘而不是交错级数，则应该用公式 4，因为幂级数的变形变不掉阶乘和 n)1( ；若题目给出的幂级数不带阶乘而 且是交错级数，则必从 3 两式中选择公式，其它情况也类似。 对于函数的幂级数展开题目，则是从已知条件与各公式左端的相似性上入手，相对来说更为简单。 在判断出所用公式以后一般要使用下列变形方法使得题目条件的形式与已知公式相符：变量替换（用于函数的幂级数展开）、四则运算（用于展开、求和）、逐项微积分（用于展开、求和）。 对于数项级数求和的题目，主要方法是构造幂级数法，即利用变换  010limnnnxn n xaa求得幂级数0n nnxa 的和函数 )(xs 以后代入极限式即可。 其中的关键步骤是选择适当的 nx ，一般情况下如果 n 、)12( n 这样的项在分子中，则应该先用逐项积分再用逐项求导，此时的 nx 应为 1)( x 的形式，如 1)( nx 、1)12( nx ，以方便先积分；若题目有 )12( 1n 、 )13( 1n 这样的项，则 nx 应为 )(x 的形式，如 )12( nx 、)13( nx ，便于先求导。 这些经验在做一定量的题目后就会得到。 本章最后的知识点是付立叶级数，很少考到，属于比较偏的知识点，但其思想并不复杂，花时间掌握还是比较划算的。 函数的付立叶级数的物理意义就是谐波分析，即把一个复杂周期运动看 作是若干个正余弦运动的叠加。 首先需记住付立叶展开式和收敛定理，在具体展开时有以下两种情况： 1. 题目给出的函数至少有一个完整的周期，如图 则直接套用公式即可，不存在奇开拓和偶开拓的问题。 对于形状类似上图的函数，展开以 14 后级数中既有正弦级数也有余弦级数； 若为奇函数如 ，则展开后只有正弦级数；若为偶函数则展开后只有余弦函数； 2. 题目给出函数后没有说明周期，则需要根据题目要求进行 奇开拓或偶开拓。 如图 ，若要求进行奇开拓就是展开成奇函数，此时得到的级数中只有正弦级数，图像为 ；若要求进行偶开拓就是要展开成偶函数，此时 得到的展开式中只有余弦级数，图像为。 高数第九章《矢量代数与空间解析几何》 本章并不算很难，但其中有大量的公式需要记忆，故如何减少记忆量是复习本章时需要重点考虑的问题。 抓住本章前后知识点的联系来复习是一种有效的策略，因为这样做既可以避免重复记忆、减少记忆量，又可以保证记忆的准确性。 同时，知识点前后联系密切也正是本章的突出特点之一。 以下列出本章中前后联系的知识点： a) 矢量间关系在讨论线线关系、线面关系中的应用。 这个联系很 明显，举例来说，平面与直线平行时，平面的法矢量与直线的方向矢量相互垂直，而由矢量关系性 质知此时二矢量的数积为 0， 15 若直线方程为 nzzmyylxx 000   ，平面方程为 0 DCzByAx ，则有0 CnBmAl。 同理可对线面、线线、面面关系进行判定。 b) 数积定义与求线线、线面、面面夹角公式的联系。 数积定义式 为 c o s||||   baba ，故有||||cos baba ，这个式子是所有线线、线面、面面夹角公式的源公式。 举例来说，设直线111111:1 n zzm yyl xxl   ，直线222222:1 n zzm yyl xxl   ，则二直线夹角||||222222212121212121    babanmlnml nnmmll ，其中 a 、 b 分别是两条直线的方向矢量。 对于线面、面面夹角同样适用，只需注意一点就是线面夹角公式中不是 cos 而是 sin ，因为如右图所示由于直线的方向矢量与直线的走向平行，而平面的法矢量却与平面垂直，所以线面夹角  是两矢量夹角  的余角，即 90 ，故求夹角公式的左端是 sin。 对于线线夹角和面面夹角则无此问题。 c) 平面方程各形式间的相互联系。 平面方程的一般式、点法式、 三点式、截距式中，点法式和截距式都可以化为一般式。 点法式0)()()( 000  zzCyyBxxA （点 ),( 000 zyx 为平面 上已知 点，},{ CBA 为法矢 量）可变形为 0)( 000  CzByAxCzByAx ，符合一般式 0 DCzByAx 的形式；截距式 1 czbyax （ cba , 为平面在三个坐标轴上的截距）可变形为 0 ab cab zac ybc x ，也符合一般式的形式。 这样的转化不仅仅是为了更好地记公式，更主要是因为在考试中可能需要将这些式子相互转化以方便答题（这种情况在历年真题中曾经出现过）。 同样，直线方程各形式之间也有类似联系，直线方程的参数形 式和标准式之间可以相互转化。 直线方程的参数形式 16 ntzzmtyyltxx000（ ),( 000 zyx 是平面上已知点， },{ nml 为方向矢量）可变形为tttnzzmyylxx000，即为标准式 nzzmyylxx 000   ；标准式 nzzmyylxx 000   若变形为 tnzzmyylxx   000 则也可以转化为参数形式。 这个转化在历年真题中应用过不止一次。 d) 空间曲面投影方程 、柱面方程、柱面准线方程之间的区别与联 系。 关于这些方程的基础性知识包括： 0),( zyxF 表示的是一个空间曲面；由于空间曲线可视为由两个空间曲面相交而得到的，故空间曲面方程为0),(0),(21zyxFzyxF ；柱面方程如圆柱面 222 Ryx  、椭圆柱面12222  byax 可视为是二元函数 0),( yxf 在三维坐标系中的形式。 在这些基础上分析，柱面方程的准线方程如00),(zyxf 可视为是由空间曲面 —— 柱面与特殊的空间曲面 ——坐标平面 0z 相交形成的空间曲线，即右图 中的曲线 2；而空间曲线的投影方程与柱面准线方程其实是一回事，如上图中曲线 1 的投影是由过曲线 1 的投影柱面与坐标平面相交得到的，所以也就是图中的柱面准线。 在由空间曲线方程0),(0),(21zyxFzyxF 求投影方程时，需要先从方程组中消去 z 得到一个母线平行于 z 轴的柱面方程；；再与 0z 联立即可得投影方程00),(zzyxf。 17 高数第十章《多元函数微分学》 复习本章内容时可以先将多元函数各知识点与一元函数对应部分作对比，这样做即可以将相似知识点区别开以避免混淆，又可以通过与一元函数的对比来促进对二元函数某些地方的理解。 本章主要内容可以整理成一个大表格： 二元函数的定义（略） 相似 一元函数的定义（略） 二元函数的连续性及极限： 二元函数的极限要求点 ),( yx 以任何方向、任何路径趋向),( 00 yxP 时均有 Ayxf ),( （ 0xx 、0yy ）。 如果沿不同路径的 ),(lim00yxfyyxx不相等，则可断定 ),(lim00yxfyyxx不存在。 不同 一元函数的连续性及极限： 一 元 函 数 的 极 限 与 路 径 无 关 ， 由 等 价 式AxfxfAxfxx)()()(lim000 即可判断。 二元函数 ),( yxfz  在点 ),( 00 yxP 处连续性判断条件为： ),(lim00yxfyyxx存在且等于 ),( 00 yxf 相似 一元函数 )(xfy 在点 0x 处连续性判断条件为)(lim0xfxx 且等于 )( 0xf 二元函数的偏导数定义 二元函数 ),( yxfz  的 偏导数定义xyxfyxxfxzxx ),(),(limlim 000000分段函数在分界点处求偏导数要用 偏导数的定义 相似 一元函数的导数定义 一元函数 )(xfy 的导数定义：xxfxxfxy xx  )()(limlim 0000分段函数在分界点处求导数需要用导数定义 二元函数的全微分： 简 化 定 义 为 ： 对 于 函 数 ),( yxfz  ， 若 其 在 点),( 00 yxP 处的增量 z 可表示为)( oyBxAz  ，其中 )(o 为的高阶无穷小，则函数 ),( yxf 在 ),( 00 yxP 处可微，全微分为 yBxA  ，一般有 dydxdz yzxz   相似 一元函数的全微分： 简化定义为：若函数 )(xfy 在点 x 处的增量y 可表示为 dxAy  ，其中 d 是x 的 高 阶 无 穷 小 ， 则 函 数 在 该 点 可 微 ， 即xAdy  ，一般有 dxxfdy )( 18 二元函数可微、可导、连续三角关系图 连续 可导 可微 不同 二元函数可微、可导、连续三角关系图 连续 可导 可微 多元函数的全导数 设 ),( wvufz  ， )(tgu ， )(thv ，)(tkw 且都可导，则 z 对 t 的全导数dtdwwfdtdvvfdtduufdtdz  不同 一元函数没有“全导数”这个概念，但是左边多元函数的全导数其实可以从“一元复合函数”的角度理解。 一元复合函数 是指 )(ufy 、 )(xgu 时有dxdududydxdy 。 与左边的多元函数全导数公式比较就可以将二式统一起来。 多元复合函数微分法 复 合 函 数 求 导 公 式 ： 设 ),( wvufz  、),( yxju  、 ),( yxhv  、),( yxkw  ，则有 ywwzyzvzyuuzyz xwwzxvvzxuuzxz。 对于多元复合函数求导， 在考研真题中有一个百出不厌的点就是函数 z 对中间变量wvu , 的偏导数 uz 、 vz 、 wz 仍是以 wvu , 为中间变量的复合函数，此时在求偏导数时还要重复使用复合函数求导法。 这是需要通过足量做题来熟练掌握的知识点，在后面的评题中会就题论题作更充分的论述。 相似 一元复 合函数求导公式如上格所示，与多元复合函数求导公式相似，只需分清式子中dxdz与xz的不同即可 多元隐函数微分法 求由方程 0),( zyxF 确定的隐含数),( yxZZ  的偏导数，可用公式： ),( ),( zyxF zyxFxz zx，),( ),( zyxF zyxFyz zy对于由方程组0),(0),(zyxGzyxF 确 定 的 隐 含 数 )(xyy 、)(xzz 可套用方程组 一元复合函数、参数方程微分法 对一元隐函数求导常采用两种方法： 1. 公式),( ),( yxF yxFdxdy yx y 视为 x 的函数，在方程两边同时对 x 求导 一元参数方程微分法：若有  )( )(tyy txx 则)( )(tx tydxdy  19 00dxdzGdxdyGGdxdzFdxdyFFzyxzyx 关于这一部分，多元与一元的联系不仅是“形似”，而且在相当大程度上是相通的，在考研真题中此处与上面的多元复合函数求导是本章的两个出题热点，屡屡出现相关题目，在后面的评题中有更多讨论。 多元函数的极值 极值定义：函数 ),( yxfz  在点 ),( 00 yxP 的邻域内有定义，且对于其中异于 P 点的任一点 ),( yxQ ，恒有),(),( 00 yxfyxf  或),(),( 00 yxfyxf  ，则称 ),( 00 yxf 为),( yxf 的极小 /大值，方程组   。