高考数列方法总结及题型大全

高考数列方法总结及题型大全内容摘要：

 nnnn aa 由 12 14 121111   aaSa .于是数列  nna2 是以 2 为首项， 2 为公差的等差数列，所以 nna nn 2)1(222  12  nn na 类型 7 banpaa nn 1 )001(  ，a、p 解法：这种类型一 般利用待定系数法构造等比数列，即令 )()1(1 yxnapynxa nn  ，与已知递推 式比较， 解出 yx, , 从而转化为 14  yxnan  是公比为 p 的等比数列。 例 :设数列 na ： )2(,123,4 11   nnaaa nn ，求 na . 解：设 BAnbaB ，Anab nnnn  则，将 1, nn aa 代入递推式，得   12)1(3 1   nBnAbBAnb nn )133()23(3 1   ABnAb n    133 23 ABB AA  11BA 1 nab nn取 „（１）则 13  nn bb ,又 61b ，故 nnnb 3236 1   代入（１）得 132  na nn 说明：（ 1）若 )(nf 为 n 的二次式，则可设 CBnAnab nn  2。 (2)本题也可由 123 1   naa nn , 1)1(23 21   naa nn （ 3n ）两式相减得2)(3 211   nnnn aaaa 转化为 nnn qbpbb   12 求之 . 【知识点】： N 项和 公式 S=(A1+An)N/2 即： [(首项 +末项 )*项数 ] / 2 等差数列公式求和公式 Sn=n(a1+an)/2 或 Sn=na1+n(n1)d/2 即： 项数 *首项 +项数 *（项 15 数 1） *公差 /2 n 项和 设 a1,a2,a3...an 构成等比数列 前 n 项和 Sn=a1+a2+a3...an Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n2)+a1*q^(n1)(这个公式虽然是最基本公式 ,但一部分题目中求前 n 项和是很难用下面那 个公式推导的 ,这时可能要直接从基本公式推导过去 ,所以希望这个公式也要理解 ) Sn=a1(1q^n)/(1q)=(a1an*q)/(1q)。 q:公比 【例】、已知数列 }{na 满足 11a ， )2(3 11   naa nnn ，则通项公式 na 312n an=3^(n1)+a(n1) ana(n1)=3^(n1) 同样 a(n1)a(n2)=3^(n2) „„ a(n2(a(n3)=3^(n3) „„„„„„„„ „„ a3a2=3^2 „„ a2a1=3^1 以上的 n 个等式的两边相加得到 Ana1=3+3^2+……+3^(n 1)=3(13^n1)/(13)=(3^n1)/2 1． 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法： (1)定义法 ： 对于 n≥2 的任意自然数 ,验证 11( / )n n n na a a a 为同一常数。 (2)通项公式法： ① 若 = +（ n1） d= +（ nk） d ，则 na 为等差数列； ② 若 ，则 na 为等比数列。 (3)中项公式法 ： 验证中项公式成立。 2. 在等差数列 na 中 ,有关 nS 的最值问题 —— 常用邻项变号法求解 ： (1)当 1a 0,d0 时，满足100mmaa 的项数 m 使得 mS 取最大值 . (2)当 1a 0,d0 时，满足100mmaa 的项数 m 使得 取最小值。 在解含绝对值的数列最值问题时 ,注意转化思想的应用。 ： 公式法 、 裂项相消法 、 错位相减法 、 倒序相加法 等。 16 注意事项 1．证明数列 na 是等差或等比数列常用定义，即通过证明 11   nnnn aaaa 或11 nnnn aaaa 而得。 2．在解决等差数列或等比数列的相关问题 时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。 3 ．注意 ns 与 na 之间关系的转化。 如： na = 110 0nnSSS  21nn， na =  nk kk aaa 2 11 )(． 4．解综合题的成败在于 审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略． 【 问题 1】 等差、等比数列的项与和特征问题 例 na 的前 n 项和记为  11, 1 , 2 1 1n n nS a a S n   （ Ⅰ）求 a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列 nb 的各项为正，其前 n 项和为 nT ，且 3 15T ，又 1 1 2 2 3 3,a b a b a b  成等比数列，求 nT 本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。 解 ：（ Ⅰ ） 由 1 21nnaS 可得  12 1 2nna S n  ，两式相减得 112 , 3 2n n n n na a a a a n    又 212 1 3aS   ∴ 213aa 故 na 是首项为 1，公比为 3 得等比数列 ∴13nna  （Ⅱ）设 nb 的公比为 d 由 3 15T 得，可得 1 2 3 15b b b   ，可得 2 5b 故可设 135 , 5b d b d    又 1 2 31, 3, 9a a a   由题意可得      25 1 5 9 5 3dd      解得 122, 10dd ∵ 等差数列 nb 的各项为正， ∴ 0d ∴ 2d ∴ 17   213 2 22n nnT n n n     例 {}na 的前 n 项和为 nS ，且对任意正整数 n ， 4096nnaS。 （ 1）求数列 {}na的通项公式。 （ 2）设数列 2{log }na 的前 n 项和为 nT ,对数列 nT ，从第几项起 509nT 。 .解 (1) ∵ an+ Sn=4096, ∴ a1+ S1=4096, a1 =2048. 当 n≥ 2 时 , an= Sn－ Sn－ 1=(4096－ an)－ (4096－ an－ 1)= an－ 1－ an ∴1nnaa = 21 an=2048(21)n－ 1. (2) ∵ log2an=log2[2048(21)n－ 1]=12－ n, ∴ Tn=21(－ n2+23n). 由 Tn－ 509,解得 n 2460123 ,而 n 是正整数 ,于是 ,n≥ 46. ∴ 从第 46 项起Tn－ 509. 【 问题 2】 等差、等比数列的判定问题． 例 { na } 共有 2k 项（整数 k ≥ 2），首项 1a ＝ 2．设该数列的前 n 项和为 nS ，且 1na ＝ nSa )1(  ＋ 2（ n ＝ 1， 2， ┅ ， 2k － 1），其中常数 a ＞ 1． （ 1）求证：数列 { na } 是等比数列；（ 2）若 a ＝ 2 122k ，数列 { nb } 满足 nb ＝)(log1 212 naaan  （ n ＝ 1， 2， ┅ ， 2k ），求数列 { nb } 的通项公式； （ 3）若（ 2）中的数列 { nb } 满足不等式 | 1b － 23 |＋ | 2b － 23 |＋ ┅ ＋ | 12kb － 23 |＋ | kb2 － 23 |≤ 4， 求 k 的值． (1) [证明 ] 当 n=1 时 ,a2=2a,则12aa =a； 2≤n≤2k－ 1 时 , an+1=(a－ 1) Sn+2, an=(a－ 1) Sn－ 1+2, an+1－ an=(a－ 1) an, ∴nnaa1 =a, ∴ 数列 {an}是等比数列 . (2) 解 ： 由 (1) 得 an=2a 1n , ∴ a1a2…a n=2n a )1(21  n =2n a 2)1(nn =2 12 )1(  knnn , bn= 112 1]12 )1([1  knknnnn (n=1,2,…,2k). 18 （ 3）设 bn≤23,解得 n≤k+21,又 n 是正整数 ,于是当 n≤k时 , bn23； 当 n≥k+1 时 , bn23. 原式 =(23－ b1)+(23－ b2)+…+(23－ bk)+(bk+1－23)+…+(b 2k－23) =(bk+1+…+b 2k)－ (b1+…+b k) = ]12 )10(21[]12 )12(21[ kk kkkk kkk    = 12 2kk . 当 12 2kk ≤4,得 k2－ 8k+4≤0, 4－ 2 3 ≤k≤4+2 3 ,又 k≥2, ∴ 当 k=2,3,4,5,6,7 时 ,原不等式成立 . 例 4。 已知数列 na 中， nS 是其前 n 项和，并且 114 2 ( 1 , 2 , ) , 1nnS a n a    ，⑴设数列 ),2,1(21   naab nnn ， 求 证 ： 数 列 nb 是 等 比 数 列 ； ⑵ 设 数 列),2,1(,2  nac nnn ，求证：数列 nc 是等差数列；⑶求数列 na 的通项公式及前 n 项和。 分析 ：由于 {bn }和 { }中的项都和 {an }中的项有关， {an }中又有 S 1n =4a n +2，可由S 2n S 1n 作切入点探索解题的途径． 解 ： (1)由 S 1n =4a 2n ， S 2n =4a 1n +2，两式相减，得 S 2n S 1n =4(a 1n an )，即a 2n =4a 1n 4an ． (根据 bn 的构造，如何把该式表示成 b 1n 与 bn 的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练 ) a 2n 2a 1n =2(a 1n 2an )，又 bn =a 1n 2an ，所以 b 1n =2bn ① 已知 S2 =4a1 +2， a1 =1， a1 +a2 =4a1 +2，解得 a2 =5， b1 =a2 2a1 =3 ② 由 ① 和 ② 得，数列 {bn }是首项为 3，公比为 2 的等比数列，故 bn =3 2 1n ． 19 当 n≥ 2 时， Sn =4a 1n +2=2 1n (3n4)+2；当 n=1 时， S1 =a1 =1 也适合上式． 综上可知，所求的求和公式为 Sn =2 1n (3n4)+2． 说明： 1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前 n 项和。 解决本题的关键在于由条件 241  nn aS 得出递推公式。 2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用． 【 问题 3】 函数与数列的综合题 数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。 注意深刻理解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点 . 例 5 已 知二次函数 ()y f x= 的图像经过坐标原点，其导函数为 39。 ( ) 6 2f x x=，数列 {}na的前 n 项和为 nS ，点 ( , )( )nn S n N *206。 均在函数 ()y f x= 的图像上。 （Ⅰ）、求数列 {}na 的通项公式；（Ⅱ）、设11nnnb aa+=， nT 是数列 {}nb 的前 n 项和，求使得 20n mT对所有 nN*206。 都成立的最小正整数 m； 点评：本题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。 解：（ Ⅰ）设这二次函数 f(x)＝ ax2+bx (a≠ 0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x－ 2,得 a=3 ,。