计算机如何表达函数？

计算机如何表达函数？内容摘要：

)()()( 10010  nnn xxxxaxxaaxN 而且有： )()()()()()())(()()()()()()()(1001021202202102101101000nnnnnnnnnnnxfxxxxaxxaaxNxfxxxxaxxaaxNxfxxaaxNxfaxN数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 这样： )( 00 xfa 01011)()(xxxfxfa  10202122)()(1 axxxfxfxxa303 1 23 2 3 0 3 1( ) ( )11f x f xa a ax x x x x x     数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 01010010110],[],[],[)()(],[xxxxfxxfxxfxxxfxfxxfkkkk 称为 k阶差商 称为 1阶差商 定义： 差商 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 差商的一个性质 ： （用归纳法易证） 对称性： ],[],[ 00 kiik xxfxxf  定义关键：找不同的元素相减作分母 的任意排列是 kii k ,0,0 ???3213103210],[],[],[xxxxxfxxxfxxxxf数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS )( 00 xfa ],[)()( 1001011 xxfxxxfxfa   ],[],[],[1 )()(101202021210202122xxxfxxfxxfxxaxxxfxfxxa由归纳： ],[ 0 nn xxfa 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS Newton插值构造 )(, 00 xfx)(, 11 xfx)(, 22 xfx)(, nn xfx],[ 10 xxf],[ 12 xxf],[ 1 nn xxf ],[ 012 xxxf],[ 21  nnn xxxf ],[ 0xxf n 先构造差商表 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 例子 2点 Newton型插值 )()()()()( 0010101 xxxxxfxfxfxN 利用差商表的最外一行，构造插值多项式 )()](,[)](,[)()( 1000100  nnn xxxxxxfxxxxfxfxN 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 差商表 求值 算法： for(i=1。 i=n。 i++) { for(j=n。 j=i。 j) y[j]=(y[j]y[j1])/(x[j]x[ji])。 } fx=y[n]。 for(i=n。 i=1。 i) { fx=y[i1]+(xx[i1])fx。 } 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 问题：如果要做到增加一个点，而尽可能减少重复计算，要如何改进前面的算法。 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 一些性质   ni niiiiiiinnnnxxxxxxxxxfxxfxxLxN0 1100)())(()()(],[ )()( 的系数一样性质 2 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 误差 00 1 0 0100 { } N e w t on ( ) { } { } ( ) ( ) [ , , , ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ , , , ] ( ) ( )ni i nni i n n n nnn n nx N xx a N t N t f x x a t x t xN a f af a N a f x x a a x a x       另 一 方 面设 插 值 为则 有 为显 然( 1 )0()[ , , , ]( 1 ) !nnff x x an性质 3 ( 1 )0() ( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) !nn n nfN x R x x x x xn  同 样 的 误 差 为数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 差商性质总结   ni niiiiiiin xxxxxxxxxfxxf0 1100 )())(()()(],[],[],[ 00 niin xxfxxf  ()0()[ , , ]!nnff x xnnknkaxxfxPxf nkn,0,],[),()(0 推论：若数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 0 1 1, , [ , , , , ]m m kkf m k f x x x x   若 则 PP证明作为作业 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS Hermite插值 有时候，构造插值函数除了函数值的条件以外，还需要一定的 连续性条件，如一阶导数值等，这种插值称为 Hermite插值。 ()00{ , ( ) } , { ( , ( ) , 1 , , ) , } H e r m i t en k ni i i i i i ix f x x f x k k 定 义 ： 满 足 和 条 件 的 插 值称 为 插 值niiiniiiixfxxfxk00 )}(39。 ,{,)}(,{ 1和满足一阶导条件为例，即每个点上还要以所有 称为二重密切 Hermite插值 数 学 系 University。