简单回归模型的基本假设

简单回归模型的基本假设内容摘要：

100 4 5 50 5 6 55 6 8 85 7 3 40 8 4 50 9 5 45 10 7 70 2ˆ 2 neS ieii xy 5 0 7 0 1 210eSPage 38 Estimation of σe2 stock 股利xi股價 yixi*yixi2yi21 13 115 1495 169 132252 4 45 180 16 20253 12 100 1200 144 100004 5 50 250 25 25005 6 55 330 36 30256 8 85 680 64 72257 3 40 120 9 16008 4 50 200 16 25009 5 45 225 25 202510 7 70 490 49 4900sum 67 655 5170 553 49025   iiii yxbybyS S E 102)5170)(()655)((49025SSEii xy 5 0 7 0 1 Page 39 Estimating standard error of b0 and b1 觀念 • 截距 b0及 斜率 b1的變異數的公式 niiniiniiniibxxnxxnxnxbV a r1212212212220)()(0  niiniibxxxnxbV ar122122221 1)(Page 40 Estimating standard error of b0 and b1 觀念 • 由於 σ2未知   2221 xxsxnxssieieb   222220 xxnsxnxnxssixeiiebiEstimated standard error of b1 Estimated standard error of b0 2)ˆ(2222 nyynenS S ES iiiePage 41 Hypothesis Testing in the Linear Regression Model 觀念 • 若以 S2e來推估 2，則 )1,0(~)( 2211 NxxbZi )2(~)( 2211 ntxxSbtie• 知道 b1的分配及標準誤差後，我們可以進行統計推論 Page 42 Hypothesis Testing in the Linear Regression Model 觀念 • 在迴歸的統計檢定中，我們想要知道自變數 x是否對於解釋 y有用，也就是說 x與 y之間是否具有 線性關係。 iii xxyE 10)|(  • 一般而言，如果 x與 y之間存在一線性關係，則 β1≠0 Page 43 Hypothesis Testing in the Linear Regression Model 觀念 • 我們要檢驗下列的虛擬假設： 0: 10 H0: 11 H0: 11 H0: 11 H0: 10 H0: 10 HOneside test 學歷與薪資的關係 Oneside test 私校學費與註冊人數之關係 Twoside test 父母的收入與兒女的在校成績 0:o r 10 H0:o r 10 HPage 44 Hypothesis Testing in the Linear Regression Model 觀念 • 我們也可以檢驗斜率等於某特定值 β*： 2 0 0 0: 10 H2020: 11 H每增加一年的學歷薪水增加$2020 Page 45 Hypothesis Testing in the Linear Regression Model 觀念 • 斜率的單邊假設檢定： *111 :  H*110 :  H *110 :or  H1*11bSbt 02, Hr e j e c ttt n 則如果  )tP ( t v a l u ec r i t i c a l2n .2, 使分配中的為在 tt nPage 46 Hypothesis Testing in the Linear Regression Model 觀念 • 斜率的單邊假設檢定： *111 :  H*110 :  H *110 :or  H1*11bSbt 02, Hr e j e c ttt n 則如果  )tP ( t v a l u ec r i t i c a l2n .2, 使分配中的為在 tt nPage 47 Hypothesis Testing in the Linear Regression Model 觀念 • 斜率的雙邊假設檢定： *111 :  H*110 :  H1*11bSbt 02,2 Hr e j e c tttn則如果 02,2 Hr e j e c tttn則如果 Page 48 例題 • 上例收入與支出的關係，以 α=.01檢定 H0: β1 = 0 vs. β1 0 ( . 0 5 4 ) ( 1 8 . 8 2 ) 9733. R 2  ixyexpenditurein c o m e2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 02 0 03 0 04 0 0 8,1 tSbtb8 9 ,01. tPage 49 例題 • 上例收入與支出的關係，以 α=.05檢定 H0: β1 = .90 vs. β1 ≠.90 ( . 0 5 4 ) ( 1 8 . 8 2 ) 9733. R 2  ixy. . 8,025.*111  tSbtb30 ,0 2 5. tPage 50 截距的檢定例題 • 續上例，以 α=.05檢定 H0: β0 = 0 vs. β0 ≠0 ( . 0 5 4 ) ( 1 8 . 8 2 ) 9733. R 2  ixy 8,0 tSbtb30 ,0 2 5. t 3 ,0 2 5.  tPage 51 Confidence Intervals for the Regression Coefficients t依循自由度為 (n2)的 t分配 : 111bsbt     1,2,2 vv tttP   1,211,21vbv tsbtP     111 ,211,21 bvbv stbstbPPage 52 Confidence Intervals for the Regression Coefficients 上述公式指出，如果我們重複抽樣來計算樣本迴歸線的斜率，則 β1的值有 100(1α)%的機率會落於以下區間：  11 ,21,21 , bvbv stbstb       111 ,211,21 bvbv stbstbP其中 t值得自當自由度為 υ = (n2)時的 t分配 , 上述的區間稱為 β1的 100(1α)%信賴區間。 同理，我們可以找出截距的信賴區間：  00 ,20,20 , bvbv stbstb  Page 53 例題 • 求下列迴歸線斜率的 90%信賴區間， (n=10): ( . 0 5 4 ) ( 1 8 . 8 2 ) 9733. R 2  ixy   11 ,21,21 , bvbv stbstb     )02 3 ,82 2 ( 3 , 3 86 ,8)2(, 8,05.  tnvPage 54 迴歸方程式的解釋力 • 當我們計算出迴歸線後，我們想進一步知道迴歸曲線與資料間的適合度 (goodness of fit)。 • 母體迴歸線告訴我們 x與 y有下列線性關係 iii exbbY  10• 上式告訴我們有兩個因素會影響 Y值的變異：。