第四节函数的单调性与极值

第四节函数的单调性与极值内容摘要：

例 5 解 .593)( 23 的极值求出函数  xxxxf963)( 2  xxxf，令 0)(  xf .3,1 21  xx得驻点 列表讨论 x )1,(  ),3( )3,1(1 3)(xf)(xf  0 0 极大值 极小值 )3(f极小值 .22)1( f极大值 ,10)3)(1(3  xx593)( 23  xxxxfMm图形如下 设 )( xf 在0x 处具有二阶导数 ,且 0)(039。 xf , 0)(039。 39。 xf , 那末(1) 当 0)( 039。 39。 xf 时 , 函数 )( xf 在0x 处取得极大值。 (2) 当 0)( 039。 39。 xf 时 , 函数 )( xf 在0x 处取得极小值 .定理 3(第二充分条件 ) 证 )1( x xfxxfxfx )()(lim)( 0000 ,0异号，与故 xxfxxf  )()( 00时，当 0 x )()( 00 xfxxf 有 ,时，当 0 x )()( 00 xfxxf 有 ,所以 ， 函数 )( xf 在 0x 处取得极大值 ． 同理可证 (2). 例 6 解 .20243)( 23 的极值求出函数  xxxxf2463)( 2  xxxf，令 0)(  xf .2,4 21  xx得驻点)2)(4(3  xx,66)(  xxf )4(f ,018  )4( f故极大值 ,60 )2(f ,018  )2(f故极小值 .4820243)( 23  xxxxf 图形如下 Mm注意 : .2,)(,0)( 00仍用定理处不一定取极值在点时 xxfxf 例 7 解 .)2(1)( 32的极值求出函数  xxf)2()2(32)( 31  xxxf.)(,2 不存在时当 xfx 时，当 2x。 0)(  xf时，当 2x .0)(  xf.)(1)2( 的极大值为 xff .)( 在该点连续但函数 xf注意 :函数的不可导点 ,也可能是函数的极值点 . M当 0x 时，当 0x 时，,0)1s i n2(2  xx x1cos 在 –1和 1之间振荡 因而 )( xf 在 0x 的两侧都不单调 .故命题不成立． xxxxf1c o s)1s i n2(2)( 小结 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用 . 定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立 . 应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式 . 极值是函数的局部性概念 :极大值可能小于极小值 ,极小值可能大于极大值 . 驻点和不可导点统称为 临界点 . 函数的极值必在 临界点 取得 . 判别法 第一充分条件。