第四章数值微积分

第四章数值微积分内容摘要：

()(6nkkn fhfR1)4(5)(2 8 8 0][   nknkkk bfxfxfafh11121 )()(2)(4)(6即 ][)( fRSdxxf nba n )(21 121 kkk xxx  其中 这时   nk kkkn xfxfxfhS1 211 )(4)()(6nkkn fhfR1)4(5)(2 8 8 0][ 2)1( khahka  hka )21(   nk kkkn xfxfxfhS1 211 )(4)()(6nxfffhab n )(...)()(2 8 8 0)( )4(2)4(1)4(4  由介值定理，若 ],[)( 4 baCxf 而且误差为 niin fhfR1)4(5)(2 8 8 0][ ),(),(2 8 8 0)(][ )4(4bafhabfR n  则有   xfMbxa44 m a x设 有估计式 )(2880 )(][ )4(4fhabfR n  445442 8 8 0)(2 8 8 0)( MnabMhab 于是 ， 我们得到复化抛物线公式及其误差为：    nknkkkbabfxfxfafhdxxf11121 )()(2)(4)(6)(),(),(2 8 8 0)(][ )4(4bafhabfR n  这时，做近似计算用：    nknkkkn bfxfxfafhS11121 )()(2)(4)(6四点公式 (n=3)的节点如： 4452880)(][ MnabfRnb a 21xx1 211xx2 212x做误差限估计用： 最后 ， 给出抛物线公式和复化抛物线公式 1. 抛物线公式及其误差   )()2(4)(6)( bfbafafabdxxfba),(,)(2880 )(][ )4(52 bafabfR  2. 复化抛物线公式及其误差    nknkkkbabfxfxfafhdxxf11121 )()(2)(4)(6)(),(),(2880 )()(2880 )(][ )4(45)4(4bafnabfhabfR n   例 35 试利用函数 的数据表（表 41）分别用复化梯形公式、复化 Simpson公式计算下列积分的近似值。   x xxf s in 10 s i n dxx xI表 41 数据表 0 1 5/8 1/8 3/4 1/4 7/8 3/8 1 1/2 也就是   718 )(2)1()0(2iihfffhT)84(2)83(2)82(2)81(2)1()0([2 ffffffh 9 4 5 6 9 )]87(2)86(2)85(2 fff 解 : 两种复化公式分别计算如下： 81h根据已知点的数据，需要用到九点复化梯形公式： i n10 dxx x)]1()(2))21((4)0([631414 fihfhiffhSii 以上两种算法对区间采用不同等分 ， 计算量大体一致 ， 定积分精确到小数点后七位的值是 ，Simpson公式精度要高一些。 )87(4)85(4)83(4)81(4)0([241 fffff 9 4 6 0 8 3 )]1()43(2)21(2)41(2  ffff对于复化抛物型公式：    nknkkkn bfxfxfafhS11121 )()(2)(4)(641h在这里 n=4 ,步长 例 36 利用复化梯形公式和复化 Simpson公式分别求下列定积分 ，若要使精度 达到 ，问各需将区间 [0,1]多少等分。  10 s i n dxx xI610 解 由于    10)c o s (s i n dttxx xxf从而   ,s i n10 t x d ttxf    1033 s i n t x d ttxf于是有   31c o s102   dttxtxf   51c o s1044   dttxtxf   10 2 c o s t x d ttxf    1044 c o s t x d ttxf由复化梯形公式和复化 Simpson公式的误差表示式 )(12 )()(12 )(][ 232 fn abfhabfR n )(2880 )()(2880 )(][ )4(45)4(4 fnabfhabfR n 442 8 8 01][ MnfR n 得到 22121][ MnfR n 312 M 514 M根据上面的估计分别取 则只要 62 1031121 n64 105128 801 n可分别解出 ， 6 636106n 6n可见 满足同样的精度 要求 复化梯形公式 需将区 间 167 等分 复化抛 物 线 公式 只 需将区间 3 等分 复化 Simpson算法 本算法为计算定积分 的近似值的复化Simpson公式  ba dxxf        ]24[3111212  nknkkkn bfxfxfafhS其中   nkkhaxnabhk 2,2,1,0,2 输入： 端点 a、 b，正整数 n   ba dxxf输出：积分 的近似值 Sn   nabh 2 1 置    bfafF 001 F02 F 2 12,2,1  nj 3 对 循环执行步 4至步 5 停机 5 如果 j 是偶数，则 ，  xfFF  22jhax 4 置  xfFF  11否则   314220 FFFhSN 6 置 7 输出 SN 本节 (167。 3)小结    11)()(2)(2)(nkkbabfxfafhdxxf),(),(12 )(][2bafabhfR n  2. 复化抛物线公式及其误差    nknkkkbabfxfxfafhdxxf11121 )()(2)(4)(6)(),(),(2880 )()(2880 )(][ )4(45)4(4bafnabfhabfR n  1. 复化梯形公式及其误差 167。 4 Gauss型求积公式 关于数值积分公式 )()()(0nkkkbaxfAdxxf除了用误差来分析其精确度以外，还可以用 代数精度 来判断其精度的高低。 为了掌握这一方法，下面先给出代数精度的概念。 定义：如果求积公式  nknkban xAdxx011而对于 不精确成立，即 1)(  nxxf则称积分公式（ ）具有 n阶代数精度。 .,1,0,0nixAdxxnkikkbai  即 ),1,0()( nixxf i  精确成立， 对于 )()()(0nkkkbaxfAdxxf例如，对于 NewtonCotes型求积公式： dxxxxxxxfnfR nba nn )())(()()!1( 1][ 10)1(    nkkkba xfAdxxf 0 )()(当 f(x) 为不超过 n次的多项式时，即 nxxxxf ,1)( 2 对于其误差式 时，均有。 0][ fRn 可见 NewtonCotes型求积公式至少具有 n阶代数精度。 进一步证明可以得出： 当 n为奇数时， NewtonCotes型求积公式的代数精度为 n，当 n为偶数时， NewtonCotes型求积公式的代数精度为 n+1。 在具有同样计算量的情况下，如果需要进一步提高数值积分的代数精度，下面介绍的 Gauss型求积公式就可以实现这一目标。 由前面的讨论知道，具有 n+1个节点的插值型求积公式至少具有 n次代数精度。 一般地，若对随机选取的 n+1个节点作插值型求积公式也仅有 n次代数精度。 但是如果我们适当选取求积节点来构造求积公式，就可以提高数值积分的代数精度，这正是 Gauss型求积公式的特点。 为了具体给出 Gauss型求积公式，需要以下几个方面去掌握： 一、正交多项式 二、常见的正交多项式 三、 Gauss型求积公式的一般理论 四、几种常见的 Gauss型求积公式 一、正交多项式及其性质 例如： ]1,0[,1)(  xx如果函数 满足条件： )(x权函数 ]。 ,[,0)().1 baxx 则称 为区间 [a,b]上的权函数。 )(x。 0)().2  ba dxx存在，,)().3  ba k dxxx ]1,1[,1)( 2  xxx正交多项式 对于多项式序列  ,2,1,0,)( 0111   nAxAxAxAxg nnnnn及权函数 ],[),( baxx 如果：   ba mba ml dxxgxmldxxgxgx .0)()(,0)()()( 2则称多项式族 在 [a,b]上带权 正交，并称 )}({ xgk )(x )(xgn为 [a,b]上带权 的 n次正交多项式。 )(x正交。 上带权，在 1)(]11[,31,1 2  xxx 例如： ,)()(*kkk Axgxg 令： 则称其为首项系数为一的多项式。 而且 也是正交多项式族。 )}({ * xgk)()()()( 12 1111 xgA AAxgxAAxg kkkkkkkkkk   3. 正交多项式的性质 )(xgn定理 2： n次正交多项式 在 [a,b]内具有 n个互异实根。 定理 1：正交多项式序列具有递推关系式 nn xxxxx   1321 dxxgxdxxgxxx kbakbak )()(/)()()( 22  dxxgxdxxgxx kbakbak )()(/)()()( 2 12  定理 3： 与 的根相互隔离，即，如。