第六节线性方程组解的结构

第六节线性方程组解的结构内容摘要：

,)0,0,1,(,1,22121111rrnrnrnrrcccccc12 169。 2020, Henan Polytechnic University 12 167。 6 线性方程组解的结构 第三章 线性方程组 下面来证明， (5) 就是一个基础解系 . 首先证明 1 , 2 , … , n r 线性无关 . 事实上，如果 k11 + k22 + … + k n rn r =0 , 即 k11 + k22 + … + k n rn r = ( *, … , *, k1 , k2 , … , kn r ) = ( 0, … , 0, 0, 0, … , 0 ) . 比较最后 n r 个分量，得 k1 = k2 = … = kn r = 0 . 因此， 1 , 2 , … , n r 线性无关 . 13 169。 2020, Henan Polytechnic University 13 167。 6 线性方程组解的结构 第三章 线性方程组 再证明方程组 (1) 的任意一个解都可以由 1 , 2, … , n r 线性表出 . 设  = ( c1 , … , cr , cr+1 , cr+2 , … , ) (6) 是方程组 (1) 的一个解 . 由于 1 , 2 , … , n r 是 (1) 的解，所以线性组合 cr+11 + cr+22 + … + n r (7) 也是 (1) 的一个解 . 比较 (7) 和 (6) 的最后 n r 个分 量得知，自由未知量有相同的值，从而这两解完全 一样，即 14 169。 2020, Henan Polytechnic University 14 167。 6 线性方程组解的结构 第三章 线性方程组 这就是说，任意一个解  都能表成 1 , 2 , … , n r 的线性组合 . 综合以上两点，我们就证明了 1 , 2 , … , n r 确为方程组 (2) 的一个基础解系，因而齐 次线性方程组的确有基础解系 . 证明中具体给出的 这个基础解系是由 n r 个解组成 . 至于其他的基础 解系，由定义，一定与这个基础解系等价，同时它 们又都是线性无关的，因而有相同个数的向量 . 证毕  = cr+11 + cr+22 + … + n r (8) 15 169。 2020, Henan Polytechnic University 15 167。 6 线性方程组解的结构 第三章 线性方程组 由基础解系的定义，可得出下面重要结论： 任何一个线性无关的与某一个基础解系等价 的向量组都是基础解系 .  = k11 + k22 + … + kn rn r 设 1 , 2 , … , n r 是齐次线性方程组 (1) 的 基础解系，则称 是齐次线性方程组 (1) 的 一般解 . 齐次线性方程组的一般解 16 169。 2020, Henan。