第7章矩阵的特征值和特征向量

第7章矩阵的特征值和特征向量内容摘要：

n  210 , 0 , 1111111111)(vvvvyk    111111)(vvykkk数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 01  时，有 )(1)1(1kkyvx01  时，有 )(1)1(1kkyvx)(ky收敛    )12()2( , kk yy分别收敛到反方向的两个向量 )(1)()1( kkk yAyx 1)(1)1(   kk yx数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS （ 2）若： 21321 ,   n   nnknkknnknkkkvvvvvvy122111122111)(11   )12()2( , kk yy 分别收敛到两个向量，且不是互为反号。 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ( 1 ) ( )( 2 ) ( 1 )mmmmx A yx A x  借助幂法来求特征值和特征向量。 计算： 则： ( 2 ) ( )1 /mmxy ( 2 ) ( 1 )11( 2 ) ( 1 )21mmmmv x xv x x数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 算法： 给出初值，计算序列  )(ky若序列收敛，则 ( 1 ) ( )11 , kkx v y 若序列的奇偶序列分别收敛，且两个数互为反号，则 ( 1 ) ( )11 , kkx v y   若序列的奇偶序列分别收敛，且两个数不互为反号，则 ( 2 ) ( )1( 2 ) ( 1 )11( 2 ) ( 1 )21/mmmmmmxyv x xv x x)1()2()()1(mmmmAxxAyx数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 反幂法 vvAvAv  11  所以， A和 A－ 1的特征值互为倒数 nnAA 21121 : : 1ii这样，求 A－ 1的按模最大特征值，就可以求出 A的按模最小特征值 )1()1()1()(1)1(/ kkkkkxxyyAx为避免求逆的运算，可以解线性方程组 )()1( kk yAx 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 若知道某一特征根 i 的大致位置 p ，即对任意 j  i 有 | i  p | | j  p | ，并且如果 (A  pI)1存在，则可以用反幂法求 (A  pI)1的主特征根。