理论力学三

理论力学三内容摘要：

坐标系，此时有 • 同样处理另外两个方向，可得惯量张量为对角阵 本征向量坐标系中的惯量张量 1 1 1 1 1 11 2 1 1 1 13 1 11 1 1 2 1 3 10000, 0 , 0II I III I Iw w l wwlwl                               ω ω123000000Illl • 一般情况下，本体坐标系并非本征向量坐标系，但可以通过一次旋转，从本征向量坐标系（不带撇）变换到一般的本体坐标系（带撇）。 旋转矩阵 R为归一化的 3个本征列向量并排排列得到。 • 旋转矩阵 R满足正交归一的条件，其逆矩阵即为自身的转置。 本体坐标系的旋转变换 3121 2 3( , , ) , , Tx x x xR y R y y R yz z z zw w w                                     ωω ω,TTTI R I R II R I R I R I R       L ω L ω ω• 惯量张量的对角项是转动惯量，特别是取本征向量坐标系时，惯量张量只有对角项的转动惯量不为零。 当质心不在转轴上时，有平行轴定理 • 均匀对称简单几何体的转动惯量为 • 这里 Lx Ly 是物体在 x和 y方向的尺度。 N是与几何体形状有关的正整数（方 3，圆 4，球 5）。 转动惯量 2 2 2 222( ) ( ) ( ( ) )[ ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ]2 ( ) ( )x x i i i i i x i c i xi i ii c x c x i x i xic c x i i x x x c x xiI m y z m mmI m I I I                        r e r r er e r e r e r er e r e221 ()z z x yI m L LN转动惯量的计算 长方体a*b*c 圆柱体 pa2*H 椭球体4pa*b*c/3 球壳 4p(a3b3)/3 22()12m bc 22()12m ac 22()12m ab22ma22()4 12ahm 22()4 12ahm 22()5m bc 22()5m ac 22()5m ab553325m a bab553325m a bab553325m a bab第 27次课 作业： ， ， ， • 定义任意方向的转动惯量 I 使得刚体绕该方向轴线转动时，动能为 • 转动惯量 I 与方向有关，当然与角速度大小无关。 沿轴线方向截取长度为 的点，当方向变动时，该点的轨迹就是一个椭球面： • 这即为惯量椭球。 惯量椭球 211 ,22T I I I Iw ww       ω ωω ω1 I1 2 32 2 21 2 31,1x x y y z zI I I I I III x I y I zw w w         ω ω ωr e e e e e e• 利用主轴方向的 3个主转动惯量，可方便地构建惯量椭球。 • 对于任意方向，从惯量椭球面到中心的距离 d，可得到转动惯量 I=d2 从而可计算动能 T=I w2/2。 • 角动量的方向就是椭球面的法线方向。 事实上，沿着椭球面法线方向即为椭球方程左端的梯度方向： • 惯量椭球是较“圆”的椭球，因为每个主转动惯量都不大于其他两个主转动惯量之和（由定义可证），因而椭球的 3个轴相差不大。 惯量椭球的应用 2 2 21 2 3 1 2 3( 1 ) 2 ( )1222x y zI x I y I z I x I y I zIIIIw w          n e e eω Lr• 求均质圆锥体的惯量张量，原点在底面圆心。 举例 242( 1 / ) 22 2 40 0 0 03 4 22 2 2 2 22002223, 0 ,3( c os ) ( 1 )4 2032( 1 ) ( ) ,103( 2 3 ) ,20 10x y x z y zh a z h hVhhVx x y y zzmI I Iaha z max dV dz r rdr d dzhz m z z mhz dV z a dz z dzh h h hm maI I h a Iprpprr r q qr r p                     • 均质立方体顶点位于原点且三个边分别位于三个坐标轴上，边长为 a。 求惯量张量并做对角化。 举例 552 2 2322233222221 2 3221 2 32( ) ( )3 3 312 2 42 1 3 2( ) ( ) 03 32 16 32 1 2 1 11( ) ( ) 0 , ,3 2 3 4 6 121 1 1( ) , [ , ] [ ( ) , (3 2 6x x y y zzVx y x z y zVx y z x y xm a aI y z dV m a I Iam a aI x y dV a m a I Iam a m amamam a m arrlllll l l                            e e e e e e e e e 2 ) ]yz ee• 牛顿矢量力学对刚体定点旋转问题的处理。 在本体坐标系中： 欧拉动力学方程 1 2 31 2 31 3 22 1 33 2 1,()()()x x y y z zx x y y z zx x y y z zx x y zy y x zz z x yI I IdI I IdtM I I IM I I IM I I Iw w ww w ww w ww w ww w w                  L e e ee ω ee ω ee ω eLM e e e ω L• 拉格朗日方程处理刚体定点旋转问题，结果不变。 以拉格朗日法求方程 2 2 21 2 331()2sin sin c o ssin c o s sinc o s0 , 1 ,x y zxyzyx zzT I I Id T TQdtTIyw w ww j q y q yw j q y q yw j q yyyww wwy y y y             • 由角速度的欧拉角表达式得 • 求 w 对 y 偏导时， y 增加对本体坐标系中的矢量是反向旋转，而求力矩时在空间坐标系中，是正向旋转。 • 依对称性同样可得 x和 y方向的动力学方程。 拉格朗日法得到欧拉动力学方程 1 2 3 1 23 1 2( ) ( )yx zx y z x y y xz x y z zTI I I I IQ I I I Myww ww w w w w w wy y y yw w wy                rF F e rzy   ω e ω• 四元数处理刚体定点旋转问题，结果不变。 四元数的动力矩方程 ** * ** * ***1 2 323()11()221( 2 ) ( ) ,2,()1,2x y zxyxdL d dq dL dqM q L q L q q q q Ldt dt dt dt dtdLq L q q q q L qdtdL dLq L L q q L qdt dtdLM L L I i I j I kdtM I Iddqqdt dtwww w ww w w wwww                                                 13 1 1 223,( ) ( ),zy y x z z x yzId M I I M I Iddt I dt Iww w w w ww   • 定点转动的刚体不受外力矩（或合外力矩为 0），称为自由刚体。 由于总力矩为 0，因而角动量守恒。 又约束转动时没有力矩做功，刚体的动能守恒。 当刚体转动时，角动量的本体坐标分量会不断变化，但它的大小不会变化。 因此有两个守恒量： • 当然也可以直接积分得到这两个守恒量。 力矩方程分别点乘 w积分，或者点乘（ I1wx， I2wy， I3wz）积分即可。 自由转动的刚体 2 2 21 2 32 2 2 2 2 2 21 2 32x y zx y zI I I TI I I Lw w w    • 从中解出以 wz表示的 wx， wy： • 可以解析求解，得到关于第一类不完全椭圆积分的特殊函数，由于数学上繁琐就不再详解和讨论。 自由转动的刚体求解 222 2 3 3 21 1 2222 1 3 3 12 2 13 1 22 ( ), ( )()2 ( ), ( )()( ) [ ( ) ] [ ( ) ] 0zx x x zzy y y zz x z y zL T I I I II I IL T I I I II I II I Iww w w www w w ww w w w w          • 以本体坐标系中的惯量椭球代表刚体，转动角速度 w与惯量椭球交点 Q处，有固定的切平面。 这是因为切面的法线方向即为守恒的角动量的方向，因此切平面都是彼此平行的；同时，原点 O到切平面的距离也固定： • 而 Q点也是转动瞬心，因此，转动的空间极迹在此固定平面内，本体极迹在惯量椭球上。 惯量椭球在平面上做（原点 O固定的）纯滚动。 自由转动刚体的几何图示 22 c o n s ta n t2TTH O QL L LI T Lw      L ω L• 可以看出，如果有两个主转动惯量相同，惯量椭球就是轴对称的，其空间极迹就是一个圆，转轴 OQ绕着角动量 L的方向匀速转动，可以解析求解。 如果惯量椭球不是轴对称的，空间极迹的曲线就会比较复杂，不易求解。 自由转动刚体的极迹 Q L O 作业： ， ， ， 第 28次课 • 自由转动的刚体，如果主转动惯量中有两个相同，称为对称欧拉陀螺。 它的惯量椭球是轴对称的，设 I1=I2，因此： • 在本体坐标系中，角速度矢量其大小不变，并围绕 z 轴做角频率为 W的匀速转动。 对称欧拉陀螺 3 1 23 1 1()000( ) 0 , c o n。