本科生必修课：概率论与数理统计

本科生必修课：概率论与数理统计内容摘要：

 又由于基本事件是两两不相容的  所以 1＝ P(S)＝ P({e1}∪ {e2}∪ … ∪ {en})==nP({ei})， i＝ 1,2,…, n  即 P({ei})=1/n , i＝ 1,2,…,n  若事件 A包含 k个基本事件，即 A={ }∪ { }∪ … ∪ { }， i1，i2， … ， ik是 1到 n中某 k个不同的数，则有  P(A)＝ ＝ ＝ 1ie 2ie kiekj i jeP1})({ nk 中包含的基本事件数中包含的基本事件数SA39/69 167。 等可能概型（古典概型）  例 1．古典概型的一般问题  一枚硬币抛三次  (i) 设事件 A1：恰有一次出现正面，求 P(A1)  (ii)设事件 A2：至少有一次出现正面，求 P(A2)  解：首先正确给出样本空间  S={HHH， HHT， HTH， HTT， THH， THT， TTH， TTT}  (i) 事件 A1={HTT， THT， TTH }  分析： S中只有有限个元素，由对称性可知  每个基本事件发生的可能性相同 ―― 等可能概型  ∴ P(A1)＝ 3/8  (ii)先看 A2的逆事件 ={TTT}  P(A2)＝ 1－ P( )＝ 1－ 1/8＝ 7/8 2A2A型的判断可根据对称性来考虑一般的排列组合问题都是古典概型 “至少 …” 通常先考察其逆事件 40/69 167。 等可能概型（古典概型）  例 2：放回抽样与不放回抽样  一只口袋有 6只球： 4只白的， 2只红的。 从袋中取球两次，每次随机取一只， 考虑两种取球方式：  放回抽样：第一次取一只球，观察颜色后放回袋中，搅匀后再取一只  不放回抽样：第一次取一只球不放回袋中，第二次从剩余球中再取一只  分别就以上两种方式求：  (i)取到的两只球都是白球的概率；  (ii)取到的两只球颜色相同的概率；  (iii)取到的两只球中至少有一只是白球的概率。  解： (a)放回抽样的情况  启示：恰当的利用事件间的关系可以简化求解  设事件 A：取到的两只都是白球。 事件 B：取到的两只都是红球。 事件 C：至少一白  则 (i) 相当于求 P(A)； (ii) P(A∪ B)＝ P(A)＋ P(B)；  (iii) P(C)＝ P( )=1－ P(B)  所以只要求出事件 A和事件 B的概率就行了  分析：依次从袋中取两球，每一取法为一个基本事件。 又样本空间中的元素有限，由对称性每个基本事件发生的可能性相同：等可能概型  ①计算 S中元素的个数：第一次 6球，第二次 6球，由组合乘法原理，  共有 6 6＝ 36种  ② A：两次都有 4只白球可取，共有4 4＝ 16种  ③ B：两次都有 2只红球可取，共有2 2＝ 4种  ∴ 由古典概型公式：  P(A)＝ 16/36=4/9  P(B)＝ 4/36=1/9  P(A∪ B)＝ P(A)＋ P(B)=4/9+1/9=5/9  P(C)＝ P( )=1－ P(B)=1－ 1/9=8/9  (b)不放回抽样的情况  S： 6 5＝ 30， A: 4 3＝ 12， B：2 1＝ 2 具体步骤（略） 分数不可随意化成小数，除非有保留精度 BB41/69 167。 等可能概型（古典概型）  例 3，生日悖论  将 n只球随机放入 N(Nn)个盒子中去 .  求每个盒子至多有一只球的概率 (设盒子容量不限 )  解：分析： n只球放入 N个盒子中的每一种方法为一个基本事件  由对称性易知：古典概型  S：共有 Nn种不同的放法  A：至多放一只，共有 N (N－ 1) (N－ 2) … (N－ n＋ 1)  所以 P(A)= N (N－ 1) (N－ 2) … (N－ n＋ 1)/Nn=  生日问题  设每人的生日在一年 365天中任一天是等可能的  任选 n个人 (n365)，生日各不相同的概率：  由公式，概率＝  则 n个人中至少有两人生日相同的概率 p＝ 1－  当 n＝ 23时， p＝  当 n＝ 64时， p＝ ，几乎等于 1， 60个人的班级以近乎于 1的概率有两个人生日相同 盒 1盒 N盒 2… … 球 … … 1 2 nCN1CN1CN1nnNNAnnA365365nnA36536542/69 167。 等可能概型（古典概型）  例 4 超几何分布的概率公式  设有 N件产品，其中 D件次品，今从中任取 n件  问其中恰有 k(kD)件次品的概率是多少。  解： S： N件中任取 n件（不放回抽样，也不计次序）  共有 种取法，每一取法为一基本事件  注意：符号 为组合数， N， n均为整数，  当 N为实数时记做  A：恰有 k件次品：相当于在 D件次品中任选 k件，并在 N－ D件正品中任选 n－ k件  共有 件   P(A)= nNnNCnNCkn DND CC knkNknDNDCCC 43/69 167。 等可能概型（古典概型）  例 5 抽签问题  袋中有 a只白球， b只红球， k个人依次在袋中取一只球，分别采用放回抽样和不放回抽样的方式，求第 i个人取到白球的概率 (ka+b,ik),记为 P(B)  解： (1)放回抽样时  第 i个人取球不受前 i－ 1个人的影响，因此概率等于白球的个数比上球总数  即 P(B)＝  (2)不放回抽样的情况  第 i个人取到白球的取法总数比上总取法数，其中总取法数如下：  S：总的取法， k个人各取一只球，每种取法为一个基本事件  共有 (a+b) (a+b－ 1) … ( a+b－ k+1)= 种取法  事件 B发生时，第 i个人应取到白球，可以是 a只中的任意一只，共有 a种情况，对于每一种情况来说，其余 k－ 1个人是从其余 a+b－ 1个球中任取 k－ 1只，由于是不放回抽样，共有 种，  所以事件 B发生时可能的取法总数为 a  P(B)＝  可见概率与 i无关，即 k个人每人取到白球的概率与取球的先后次序，取球的方式 (是否放回抽样 )无关，它们机会均等 baak baA1 1k baA1 1k baAbaaAAak bak ba   1 144/69 167。 等可能概型（古典概型）  例 一道作业题  从 5双不同的鞋子中，任取 4只，这 4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少。  解：古典概型  为方便分析，先求 4只都不配成双的概率 p  S：共有 种不同的取法  4只都不配成双的概率：  5双鞋中先任选 4双，然后每双鞋中任选一只   所以 p＝  所以至少两只配成双的概率为 1－ p＝ 1－  或直接求：  有 1双配成双： 有两双配成双  所以 P(B)= 410C1212121245 CCCCC 4104542CC4104542CC）（ 12122415 CCCC  25C4102512122415 / CCCCCC ））（（ 45/69 167。 等可能概型（古典概型）  例 8 小概率事件与实际推断原理  某接待站在某一周曾接待过 12次来访，均是在周二和周四进行  问：是否可以推断接待时间是有规定的。  解：假设接待事件没有规定，而来访者在一周内任一天去接待站是等可能的  那么 12个来访者分布于一周 7天共有 712种可能分布  现在 12个人均集中在周二和周四两天，共有 212种可能情况  因此在没有规定的情况下， 12个来访者均集中在周二和周四两天的概率为  212/712＝ ,千万分之三，近乎于不可能事件  实际推断原理：根据实践经验，概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的  现在这种小概率事件竟然发生了，所以假设可能不正确，可以推断接待时间是有规定的  （如果 2天改为 4天， 412/712＝ ,则很难说是小概率事件） 46/69 167。 等可能概型（古典概型）  几何概型（概率的几何定义）  定义： 若试验具有下列两个特征：  (1) 样本空间的元素有无限个；  (2) 每个样本点的发生具有某种等可能性 .  则称此试验为 几何概型试验。  几何概型的计算  设试验的每个样本点 是等可能落入区域 Ω上的随机点 M ，且 D Ω，则 M点落入子区域 D(事件 A)上的概率为 :  P(A)=m(D)/m(Ω).  其中 m(•)为自然测度  测度可能是长度、面积、体积，甚至是质量，比如均匀分布 47/69 167。 条件概率  条件概率问题是概率论中，内容最为丰富的一个问题，主要考虑：  在事件 A发生的条件下事件 B发生的概率。  如：通信系统中，出现接收信号错误，在接收系统正常条件下，由信道产生错误的概率。  (一 ) 条件概率的定义  例 1：一枚硬币抛两次，观察其出现 H和 T的情况  设事件 A：“至少有一次为 H”  事件 B：“两次抛出同一面”  求已知事件 A发生的条件下，事件 B发生的概率  解：试验本身是古典概型  S={HH， HT， TH， TT}  A={HH， HT， TH }  B={HH， TT }  AB={HH}  在条件概率下，相当于重新确定了样本空间  S=S∩A=A ； B=B∩A=AB  我们记已知事件 A发生的条件下事件 B发生的概率为 P(B|A)，则由古典概型的计算方法  P(B|A)＝ ＝ 1/3  而在无条件时 P(B)＝ 2/4=1/2，可见二者的不同 中的基本事件数中的基本事件数AABSBA48/69 167。 条件概率  在 P(B|A)＝ 中，  令分子分母同时除以样本空间中的基本事件数 n，则有一般的  P(B|A)＝ = P(BA)/P(A)  其中 P(A)0，显然对于古典概型上式都成立  于是有如下定义：  定义：设 A， B是两事件， 且 P(A)0，则称 P(B|A)＝ 为在事件 A发生的条件下，事件 B发生的条件概率。  它也符合概率定义的三个条件：  1）非负性：事件 B，有 P(B|A)0  2）规范性：对于必然事件 S，有 P(S|A)=1。  3）可列可加性：设 B1, B2, … , Bk是两两互 不相容的事件，即对于 i≠j， BiBj＝ Φ， i， j＝ 1， 2， … ，则有 P( |A)＝ 中的基本事件数中的基本事件数AAB中的基本事件数中的基本事件数 中的基本事件数中的基本事件数 SA SAB / /)()(APABP1i i。