向量空间与线性转换

向量空间与线性转换内容摘要：

0 故 X1, X2 , X3 為 線性獨立 現代管理數學． Chapter 2 向量空間與線性轉換 229 練習三 (例題 212) ()： 試判斷下列向量為線性相依或線性獨立 ? (a) 在 R2中， X1= (1, 2)， X2= (1, 0)， X3= (2, 1) 求解：令 c1X1+ c2X2 +c3X3 = 0 =(0,0) , 則 c1 + c2 + 2c3 ＝ 0 2c1 + 0c2 + c3 ＝ 0 令 c3 ＝ t, tR  c1 ＝ (1/2) c3= (1/2) t c2 ＝ C12C3= (3/2) t 因為 有不全為 0 的 c1, c2 , c3 使得 c1X1+ c2X2 +c3X3 = 0 故 X1, X2 , X3 為 線性相依 現代管理數學． Chapter 2 向量空間與線性轉換 230 練習三： 試判斷下列向量為線性相依或線性獨立 ? (b) 在 R3中 ， u1= (1, 2, 1)， u2= (1, 2, 1)， u3= (3, 2, 1) ， u4= (2, 0, 0) (c) 在 R4中 ， X1= (1, 1, 0, 0)， X2= (2, 0, 1, 1) (d) 在 R4中 ， u1= (1, 0, 1, 2)， u2= (0, 1, 1, 2)， u3= (1, 1, 1, 3) 現代管理數學． Chapter 2 向量空間與線性轉換 231 練習三： 試判斷下列向量為線性相依或線性獨立 ? (b)在 R3中 ， u1= (1, 2, 1)， u2= (1, 2, 1)， u3= (3, 2, 1) ， u4= (2, 0, 0) (c)在 R4中 ， X1= (1, 1, 0, 0)， X2= (2, 0, 1, 1) (d) 在 R4中 ， u1= (1, 0, 1, 2)， u2= (0, 1, 1, 2)， u3= (1, 1, 1, 3) 現代管理數學． Chapter 2 向量空間與線性轉換 232 若 X1, X2, …… , Xk 為向量空間 V 的 k 個向量 ， 則X1, X2, …… , Xk 線性相依的 充要條件 是其中一個向量可以用其他 k1 個向量的線性組合來表示。 24 練習四： (同練習三 (a)) 在 R2中， X1= (1, 2)， X2= (1, 0) ， X3= (2, 1)，已知X1 、 X2與 X3為線性相依，試證明定理 24成立 現代管理數學． Chapter 2 向量空間與線性轉換 233 若向量空間 V 的子集合 S = {X1, X2, …… , Xn }滿足下面兩個性質 (1) S 中的向量為線性獨立 (2) V = S 則稱 S 為 V 的一個基底 (basis)。 27 現代管理數學． Chapter 2 向量空間與線性轉換 234 練習五： (a) 在 R3中 ， X1= (1, 1, 1)， X2= (1, 2, 3)， X3= (0 ,1 ,0)， 試證明 S = {X1, X2, X3} R3中的一組基底 (b) 試證明 S = {X1, X2, X3, X4} 為 R4中的一組基底 ，其中 X1= (1,0, 1, 0)， X2= (0, 1, 1, 2) ， X3= (0, 2, 2, 1) ， X4= (1,0, 0, 2) 現代管理數學． Chapter 2 向量空間與線性轉換 235 向量空間 V 通常有許多組基底 ， 且每一組基底所含的向量個數都是一樣的 ， 即若 S = {X1, X2, …… , Xn }且 T= {u1, u2, …… , um }均為向量空間 V 的基底 ， 則 n = m。 若基底所含的向量個數為 n， 則稱 n 為 V 的維度(dimension)或 dim V =n， 並稱 V 為 n 維向量空間 (ndimensional vector space)， 至於零空間 {O} 可定義其維度為 0。 現代管理數學． Chapter 2 向量空間與線性轉換 236 若 S = {X1, X2, …… , Xn }為向量空間 V 的基底 ， 則V中每一個向量 X 可以用 X1, …… , Xn 的 線性組合表示 ， 且表示法為 唯一。 25 一般而言 ， dim R2 =2 dim R3 = 3 dim Rn =n。 現代管理數學． Chapter 2 向量空間與線性轉換 237 若 S = {X1, X2, …… , Xn}為向量空間 V 的基底 ， 則 V 中任一向量 X 皆可 唯一地 表示成 X = a1X1 + a2X2 + …… + anXn 我們稱 (a1, a2, …… , an)為 X 對於基底 S 的 座標向量 (coordinate vector)， 並記為 28  12SnaaXa現代管理數學． Chapter 2 向量空間與線性轉換 238 23 Rn的透視 Rn 中向量 X = (x1, x2, …… , xn)的長度 (length or norm)為 實際上我們也可將 ||X|| 視為原點到點 (x1, …… , xn)的距離 ， 因此若考慮由點 (x1, x2, …… , xn)到點(y1, …… , yn)間的距離時 ， 可由向量 X  Y 的長度來定義。 這裡 其距離為 29 2 2 212 nX x x x   11( , , ) ( , , )nnx x x Y y y ，2211( , ) ( ) ( )nnd X Y X Y x y x y      現代管理數學． Chapter 2 向量空間與線性轉換 239 若 X = (x1, …… , xn)， Y = (y1, …… , yn)為 Rn 中的兩個向量 ， 則其內積 (inner product)為 內積的運算具有下面幾個基本性質。 210 11 nnX Y x y x y   現代管理數學． Chapter 2 向量空間與線性轉換 240 若 X、 Y、 Z 均為 Rn 中的向量 ， c 為實數 ， 則 (1) X． X = ||X||2 而且 X． X = 0 若且唯若 X = O (2) X． Y = Y． X (3) (X + Y)． Z = X． Z + Y． Z (4) (cX)． Y = c (X． Y) = X． (cY) 26 現代管理數學． Chapter 2 向量空間與線性轉換 241 CauchySchwarz,zd 不等式 若 X、 Y 為 Rn 中的向量 ， 則 (22) (注意不等式左邊的符號 | | 代表實數的絕對值 ，而右邊的 || || 代表向量的長度 ) 27 X Y X Y現代管理數學． Chapter 2 向量空間與線性轉換 242 設 X、 Y 為。