16752线性微分方程组的一般理论

16752线性微分方程组的一般理论内容摘要：

是线性相关 , 12, , , nc c c 则存在不全为零的常数 , 使得( ) 成立当然有 1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0nnc x t c x t c x t   12( ) , ( ) , ( )nx t x t x t这表明 线性相关. 从而 ,从 Wronsky行列式的概念可看出 ,从本节定理 3,4,5立即分别推出第四章定理 3,4,5. 从本节定理 6立即得到 齐次线性方程组的通解结构 推论 2 12( ) , ( ) , ( )nx t x t x t n如果 是 阶微分方程11 1( ) ( ) 0 ( 5 . 2 1 )nnnnnd x d xa t a t xd t d t   。 ( ) ( 1 , 2 , , ),in a t i n a t b  个 线 性 无 关 解 其 中 是 上连 续 函 数 ()xt则( 5 . 2 1 ) 的任一解 可表为1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )nnx t c x t c x t c x t   12, , ,。 .nc c c这里 是相应确定的常数齐次线性方程组的通解结构 5 解矩阵与基解矩阵及性质 (1)定义 ( 5 ) ,nn 如果一个 矩阵的每一列都是 的解则称这个矩阵为 ()的 解矩阵 . [ , ] ( 5 .1 5 ) ,ab如 果 该 矩 阵 的 列 在 是 的 线 性 无 关 解 组则称该解矩阵为 ()的 基解矩阵 . 基解矩阵 以基本解组为列构成的矩阵 . 12( ) , ( ) , ( )()nt t tt  以 () 基 本 解 组 为 列 构 成 的矩 阵 , 用 表 示 , 即12( ) [ ( ) , ( ) , ( ) ] .nt t t t  齐次线性方程组的通解结构 *(2) 定理1( 5 . 1 5 ) ( ) ,( ) ( 5 . 1 5 ) ,tt一 定 存 在 一 个 基 解 矩 阵如 果 是 的 任 一 解 那 么( ) ( ) , ( )t t C .n这 里 C 是 确 定 的 维 向 量 *(3) 定理2 ()t() 的 解 矩 阵 是 基 解 矩 阵 充 要 条 件 是 :00d e t ( ) 0 ( ) , , [ , ] ,d e t ( ) 0 , d e t ( ) 0 , .t a t b t a bt t a t b         而 且 如 果 对 某 一则由定理 5,6得 由定理 3,4得 齐次线性方程组的通解结构 注 1: 行列式恒等于零的矩阵列向量未必线性相关 . 如矩阵 21010 0 0ttt注 2: nn 矩阵 (t)是()基解矩阵充要条件是:39。 ( ) ( ) ( ) ,。 t A t t a t b    00[ , ] de t ( ) a b t   且使齐次线性方程组的通解结构 例 3 验证 ()0ttte tete 是方程组 139。 211,01xx x xx 其中 的基解矩阵 . 解 : 由于 39。 ( 1 )()0ttte e tte  1101 0ttte tee1101()t故 (t)是解矩阵,又由于 d e t ( )0ttte tete2 0te()t所 以 是 基 解 矩 阵 ,齐次线性方程组的通解结构 *推论1     如果 ( t ) 是( 5 . 1 5 ) 在a t b 基解矩阵, C 是非奇异n n 常数矩阵, 那么 ( t ) C 也是在区间a t b 上的基解矩阵.由于()基 解矩阵 (t)满足证明 : 39。 ( ) ( ) ( ) ,。 t A t t a t b    ( ) ( ) ,。 t t C a t b    令则39。 39。 ( ) ( )t t C   ( ) ( )A t t C ( ) ( )A t t故 (t )为 (5 .1 5) 的解矩阵, 又由C的非 奇异性de t ( ) de t ( ) de t 0 ,t t C a t b     , ( ) ( ) ( 5 ) .t t C因 此 即 是 的 基 解 矩 阵齐次线性方程组的通解结构 *推论2( ) , ( ) ( 5 ), , , ( ) ( ) .t t a t bn n Ca t b t t C       如 果 是 在 上 两 个 基 解矩 阵 那 么 存 在 一 个 非 奇 异 常 数 矩 阵 使 得 在 区间 上 有证明 : ()t由 于 是 基 解 矩 阵 ,1 ()t故 其 逆 矩 阵 存 在 ,1 ( ) ( ) ( ) ,t t X t  令 ( ) ( ) ( ) ,t t X t  即( ) ,X t n n则 是 可 微 矩 阵 且de t ( ) 0 ,。 X t a t b  于是有 39。 ( ) ( ) ( )A t t t   39。 39。 ( ) ( ) ( ) ( )t X t t X t   39。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A t t X t t X t   39。 ( ) ( ) ( ) ( ) ,。 A t t t X t a t b     由此可得 39。 ( ) ( ) 0 ,t X t齐次线性方程组的通解结构 39。 ( ) 0 ,。 X t a t b  即( ) ,x t n n C故 为 常 数 矩 阵 且 非 奇 异 记 作即有 ( ) ( ) ,t t C  例 4 验证 33()tttteetee 是方程组 39。 21 ,12xx 基解矩阵 ,并求其通解 . 解 : ( ) , ( ) ( ) ,t t t 12分别用 表示矩阵 的第一 二列,即33( ) , ( ) ,tttteettee         12齐次线性方程组的通解结构 39。 1 ()ttete 2112ttee2112 ()t1339。 2 33()3ttete 211233ttee2112()t2( ) , ( ) ,tt12因此 是方程组的解 ( ) ,t即 为解矩阵又由于 33d e t (。