16734子式与代数余子式行列式依行依列展开

16734子式与代数余子式行列式依行依列展开内容摘要：

167。 子式与代数余子式 在 D1中 , aij在第 1行第 1列的位置 , 且第 1行的其它元素全为零 , 由本证明 ⒈ 的结论 , 有 : 因此 , D=(1)i+j D1=(1)i+j aijMij= aij(1)i+jMij= aijAij ,定理得证 . (对于一般行列式 , 有如下定理 )  11 1 , 1 1 , 1 11 , 1 1 , 1 1 , 1 1 ,11 , 1 ! , 1 ! , 1 1 ,1 , 1 , 1... ...... ... ... ... ... ...... ...... ...... ... ... ... ... ...... ...i j ni i j i j i ni j i j i ji i j i j i nn n j n j nna a a aa a a aD a a Ma a a aa a a a          167。 子式与代数余子式 定理 行列式 D等于它任一行 (列 )的所有元素与它们对应的代数余子式的乘积之和 . 也就是说 : 行列式有依行或依列的展开式 : ⑶ D = ai1Ai1 + ai2Ai2 +...+ ainAin (i=1,2,...,n)。 ⑷ D = a1jA1j + a2jA2j +...+ anjAnj (i=1,2,...,n). 在证明之前 , 先注意以下事实 : 167。 子式与代数余子式 设 是两个 n阶行列式 , 除了第 i行以外 , 它们的其余行全相同 , 则 D1的第 i行的元素与 D2的第 i行的对应元素有相同的代数余子式 , 即 : 11 12 1 11 12 1121 2 1 21 2 1 2... ...... ... ... ... ... ... ... ...,... ...... ... ... ... ... ... ... ...... ...nni i i n i i i nn n nn n n nna a a a a aDDa a a b b ba a a a a a167。 子式与代数余子式 划去 D1的第 i行第 j列后所得 n1阶行列式 = 划去 D2的第 i行第 j列后所得 n1阶行列式 , 即 : aij的余子式 = bij的余子式 , 而它们的代数余子式符号都由 i+j确定 , 从而有 : aij的代数余子式 = bij的代数余子式 . 上述结论显然也适合于列的情形 . 167。 子式与代数余子式 证 : (只证行的情形 , 即公式 ⑶ ) 先将行列式 D写成 : 就是把 D的第 i行的每个元素都写成 n项的和 , 由命题 , D等于如下的 n个行列式之和 : 11 12 11212...... ... ... ...0 ... 0 0 0 ... 0 ... 0 ... 0... ... ... ......ni i i nn n nna a aD a a aa a a          167。 子式与代数余子式 11 12 1 11 12 1121 2 1 211 12 112... ...... ... ... ... ... ... ... ...0 ... 0 0 ... 0... ... ... ... ... ... ... ...... ......... ... ... ...... 0 0 ...... ... ... ......nniin n nn n n nnninn n nna a a a a aD aaa a a a a aa a aaa a a167。 子式与代数余子式 等式右边 n个行列式的每一个 , 除了第 i行外 , 其余的。