nurbs曲线曲面

nurbs曲线曲面内容摘要：

   nikii uBDup0,   nikiinikiiiuBuBpuP0,0,☆ NURBS曲线 ● 有理样条曲线 ● NURBS曲线表示 ◘ 有理分式表示 ◘ 有理分式性质 ◘ 基函数表示 ◘ 基函数性质 ◘ 基函数性质 ◘ 齐次坐标表示 ◘ 齐次坐标表示 ● 形状因子概念 ● NURBS曲线形状 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性质 ● NURBS形状因子 ☆ 三次曲线比较 形状因子：交比的定义 • 交比： 共线四点 a,b,c,d的交比定义为： Cr(a,b,c,d)=(ab/cd)/(ac/cd) 即： b点分 ad成两段的长度比 与 c点分ad成两段的长度比 的比值。 – ad及所分四线段都应理解为有向线段 → 所取长度为代数长。 • 直线段被分成两子段的长度比在 仿射变换 中 保持不变 ； • 在 投影变换 中上述长度就 不再保持不变 ，但却 保持交比不变。 • 共线四点的交比 仅与 在投影中心的角度 有关。 – 从投影中心出发的四射线可与任一直线相交 ， 不管该直线是怎样选择的 ， 得四个交点将有同样的交比。 – 所有这样的直线都与投影有关。 因此 ， 在投影变换中交比保持不变 ， 即： Cr(a,b,c,d)= Cr(A,B,C,D) BACDa b cdO☆ NURBS曲线 ● 有理样条曲线 ● NURBS曲线表示 ● 形状因子概念 ◘ 交比的定义 ◘ 形状因子意义 ◘ 形状因子 /交比 ◘ NURBS权因子 ● NURBS曲线形状 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性质 ● NURBS形状因子 ☆ 三次曲线比较 形状因子的几何意义 • 权因子 ωi仅影响定义在区间 [ui,ui+k+1]上那部分曲线的形状 ， 对其它部分不发生影响 → 仅需考察整条曲线中的这部分。 – 给定一个 ωi便可得到一条曲线； • 如果使 ωi在某个范围内变化 ， 则得到一簇曲线。 – 如果固定曲线的参数 u， 而使 ωi变化 ， 则 NURBS曲线方程变成为以 ωi为参数的直线方程。 • 这表明： 这一簇 NURBS曲线上参数 u值相同的点都位于同一直线上。 P 2 P 3 P 1 P 0 P 3 P 3 权因子 ωi的几何意义 ☆ NURBS曲线 ● 有理样条曲线 ● NURBS曲线表示 ● 形状因子概念 ◘ 交比的定义 ◘ 形状因子意义 ◘ 形状因子 /交比 ◘ NURBS权因子 ● NURBS曲线形状 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性质 ● NURBS形状因子 ☆ 三次曲线比较 形状因子与交比 • 把曲线与有理基函数的记号用包含权因子为变量的记号代替： • 当 ωi→+∞ 时 ,Ri,k(u。 ωi→+∞)= 1， 故该直线通过控制顶点： Pi=P(u。 ωi→+∞) ； • 当 ωi=0时 ， Ri,k(u。 ωi=0)=0；这时控制顶点对曲线不起作用 ，对应得到点： m=P(u。 ωi=0)； • 当 ωi=1时 ， 对应得到点： n=P(u。 ωi=1)； • 当 ωi≠0,1时 ， 相应有点： p=P(u。 ωi≠0,1)。 • 可以证明： p点和 n点分直线段之比就是形状因子。 (Pin/nm)/(Pip/pm)=ωi 即：参数值相同的直线上四点 Pi、 p、 n、 m的交比。 P2P3P1P0P3P3mnp(( ωω i→→ + ∞∞ ))(( ωω i = 0)0)(( ωω i = 1)1)(( ωω i ≠≠ 0,1)0,1)ωω →→ ∞∞ωωωωωω ≠≠☆ NURBS曲线 ● 有理样条曲线 ● NURBS曲线表示 ● 形状因子概念 ◘ 交比的定义 ◘ 形状因子意义 ◘ 形状因子 /交比 ◘ NURBS权因子 ● NURBS曲线形状 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性质 ● NURBS形状因子 ☆ 三次曲线比较 NURBS曲线的形状因子 • 形状因子的几何意义 – 权因子 ωi等于 过控制顶点 Pi的一条直线上 分别具 有权因子ωi=+∞,0,1和 ωi≠0,1的四个点 Pi,m,n,p的交比。 • 该直线是仅改变权因子 ωi所得一簇 NURBS曲线上具有某个相同参数 u的点集合。 • 这四个点中前三个点是特定点。 • 如果改变参数将得到另一条过控制顶点 Pi的直线。 • 形状因子对曲线形状的影响 – 若 固定所有控制顶点 及 除 ωi外所有其它权因子不变： • 当 ωi变化时 ， p点随之移动 ， 它在空间扫描出一条过控制顶点 Pi的一条直线。 – 权因子 ωi的减小和增加起到了对曲线形状相对于顶点 Pi的推拉作用。 • ωi→+∞ 时 ， p趋近与控制顶点 Pi重合。 • ωi增加 ， 则曲线在受影响范围内被 拉向 控制顶点 Pi； • ωi减小 ， 则曲线在受影响范围内被 推离 控制顶点 Pi。 ☆ NURBS曲线 ● 有理样条曲线 ● NURBS曲线表示 ● 形状因子概念 ◘ 交比的定义 ◘ 形状因子意义 ◘ 形状因子 /交比 ◘ NURBS权因子 ● NURBS曲线形状 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性质 ● NURBS形状因子 ☆ 三次曲线比较 NURBS曲线形状修改 • 像非有理 B样条曲线那样 ， NURBS曲线也可按所取节点向量划分成四种类型。 • 非有理 B样条曲线的 DeBoor算法求曲线上的点 、 插入节点 、 升阶等都可以推广到 NURBS曲线。 • 这些算法都应对高一维的带权控制顶点执行 ，然后 ， 取其在 ω=1超平面上的投影即为所求。 • 采用 NURBS方法可以将顺序相连的各种连续性的各种非有理与有理 B233。 zier曲线 、 非有理和有理 B样条曲线在更高层次上组合。 • 采用类似非有理 B样条的组合方法 ， 组合在一起 ，用一个统一方程表示 ， 成为最具一般意义的 NURBS曲线。 ☆ NURBS曲线 ● 有理样条曲线 ● NURBS曲线表示 ● 形状因子概念 ● NURBS曲线形状 ◘ 控制顶点定位 ◘ 反插节点 ◘ 权因子重确定 ◘ 修改界定部分 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性质 ● NURBS形状因子 ☆ 三次曲线比较 重新定位控制顶点 • 最简单的形状修改方法是移动控制顶点。 • 设已给一条 k次 NURBS曲线。 若指定该曲线 参数为 u的点 p、 一个方向矢量 c和 一个距离 s， 那么 ， 控制顶点 Pi移到新位置 P’i使曲线上点 p沿 c移动距离 s到新位置 p’： • 待移动控制顶点的选择必须适当 ， 否则将事与愿违。 • 当指定曲线上一点 p， 该点的参数 u可能已知或由反算得到。 u所在节点区间 u∈ [uj,uj+1]也就确定 ， 曲线上该点至多与k+1个控制顶点 Pjk,Pjk+1,… ,Pj有关。 因此 ， 所选顶点应是这 k+1个顶点之一 、 且应考虑取 这 k+1个顶点 中 对曲线上 p点影响最大的顶点 或 某个合适的顶点。 • 最大影响顶点对应于 p点参数 u处的一组有理基函数中取最大值的那个基函数。 • 实践中常以曲线的分段点为曲线上要移动的点。         cPPuRcppsuRcPuRPpikinjikjjkii。