浙大第四版概率论与数理统计知识点总结

浙大第四版概率论与数理统计知识点总结内容摘要：

)(  dxyxfyfY （ 6）条件分布 离散型 在已知 X=xi的条件下， Y 取 值的条件分布为 ； iijij ppxXyYP )|( 在已知 Y=yj的条件下， X 取值的条件分布为 ,)|(jijji ppyYxXP 连续型 在已知 Y=y 的条件下， X 的条件分布密度为 )( ),()|( yf yxfyxf Y； 在已知 X=x 的条件下， Y 的条件分布密度为 )( ),()|( xf yxfxyf X （ 7）独立性 一般型 F(X,Y)=FX(x)FY(y) 离散型 jiij ppp  有零不独立 连续型 f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断，充要条件： ①可分离变量 ②正概率密度区间为矩形 二维正态分布 ,121),( 22 221 2121 1221))((2)1(212  yyxxeyxf  ＝ 0 概率论与数理统计 公式（全） 知识点总结 1 随机变量的函数 若 X1,X2,„ Xm,Xm+1,„ Xn相互独立， h,g 为连续函数，则： h（ X1， X2,„ Xm）和 g（ Xm+1,„ Xn）相互独立。 特例：若 X 与 Y 独立，则： h（ X）和 g（ Y）独立。 例如：若 X 与 Y 独立，则： 3X+1 和 5Y2 独立。 （ 8）二维均匀分布 设随机向量（ X， Y）的分布密度函数为  其他,0),(1),(DyxSyxfD 其中 SD为区域 D 的面积，则称（ X， Y）服从 D 上的均匀分布，记为（ X， Y）～U（ D）。 例如图 、图 和图。 y 1 D1 O 1 x 图 y 1 O 2 x 图 y d c O a b x 图 D2 1 D3 概率论与数理统计 公式（全） 知识点总结 1 （ 9）二维正态分布 设随机向量（ X， Y）的分布密度函数为 ,12 1),(2222121211221))((2)1(212  yyxxeyxf 其中 1||,0,0, 21,21   是 5 个参数，则称（ X， Y）服从二维正态分布， 记为（ X， Y）～ N（ )., 2221,21  由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布， 即 X～ N（ ).(~), 22,2211  NY 但是若 X～ N（ )(~), 22,2211  NY ， (X， Y)未必是二维正态分布。 （ 10）函数分布 Z=X+Y 根据定义计算：)()()( zYXPzZPzF Z  对于连续型， fZ(z)＝ dxxzxf ),( 两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ 222121 ,   ）。 n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。  i iiC ，  i iiC 222  Z=max,min(X1,X2,„ Xn) 若 nXXX 21, 相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数 分 别 为)()()( 21 xFxFxF nxxx ， ，则 Z=max,min(X1,X2,„ Xn)的分布函数为： )()()()( 21m a x xFxFxFxF nxxx  )](1[)](1[)](1[1)( 21m i n xFxFxFxF nxxx   概率论与数理统计 公式（全） 知识点总结 1 2 分布 设 n 个随机变量 nXXX , 21  相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和  ni iXW 1 2 的分布密度为 .0,0,0221)(2122uueunufunn 我们称随机变量 W服从自由度为 n的 2 分布，记为 W～ )(2 n ，其中 .2 0 12 dxexn xn   所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。 2 分布满足可加性：设 ),(2 ii nY  则 ).(~ 211 2 kki i nnnYZ    概率论与数理统计 公式（全） 知识点总结 1 t 分布 设 X， Y 是两个相互独立的随机变量，且 ),(~),1,0(~ 2 nYNX  可以证明函数 nYXT / 的概率密度为 2121221)(  nntnnntf ).(  t 我们称随机变量 T 服从自由度为 n 的 t 分布，记为 T～ t(n)。 )()(1 ntnt   F 分布 设)(~),(~ 2212 nYnX  ，且 X 与 Y 独立，可以证明21//nY nXF 的概率密度函数为   0,00,1222)(221122212121 2111yyynnynnnnnnyfnnnn 我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n1，第二个自由度为 n2的 F 分布，记为 F～ f(n1, n2). ),( 1),( 12211 nnFnnF   第四章 随机变量的数字特征 （ 1） 离散型 连续型 概率论与数理统计 公式（全） 知识点总结 1 一维随机变量的数字特征 期望 期望就是平均值 设 X 是离散型随机变量，其分布律为 P( kxX ) ＝ pk ，k=1,2,„ ,n，  nk kk pxXE 1)( （要求绝对收敛） 设 X 是连续型随机变量，其概率密度为 f(x)，  dxxxfXE )()( （要求绝对收敛） 函数的期望 Y=g(X)  nk kk pxgYE 1 )()( Y=g(X)  dxxfxgYE )()()( 方差 D(X)=E[XE(X)]2， 标准差 )()( XDX  ，   k kk pXExXD 2)]([)(   dxxfXExXD )()]([)( 2 矩 ①对于正整数 k，称随机变量 X的 k 次幂的数学期望为 X 的 k阶原点矩，记为 vk,即 ν k=E(Xk)= i iki px, k=1,2, „ . ②对于正整数 k，称随机变量 X与 E（ X）差的 k 次幂的数学期望为 X的 k阶中心矩，记为 k ，即 . ))((kk XEXE  =  i iki pXEx ))((， k=1,2, „ . ①对于正整数 k，称随机变量 X 的k次幂的数学期望为 X的 k阶原点矩，记为 vk,即 ν k=E(Xk)= ,)( dxxfxk k=1,2, „ . ②对于正整数 k，称随机变量 X 与E（ X）差的 k 次幂的数学期望为 X的 k 阶中心矩，记为 k ，即 . ))((kk XEXE  =  ,)())(( dxxfXEx k k=1,2, „ . 概率论与数理统计 公式（全） 知识点总结 1 切比雪夫不等式 设随机变量 X 具有数学期望 E（ X） =μ，方差 D（ X） =σ 2，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式 22)(  XP 切比雪夫不等式给出了在未知 X 的分布的情况下，对概率 )(  XP 的一种估计，它在理论上有重要意义。 （ 2）期望的性质 （ 1） E(C)=C （ 2） E(CX)=CE(X) （ 3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，   nini iiii XECXCE 1 1 )()( （ 4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件： X 和 Y 独立； 充要条件： X 和 Y 不相关。 （ 3）方差的性质 （ 1） D(C)=0； E(C)=C （ 2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X) （ 3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b （ 4） D(X)=E(X2)E2(X) （ 5） D(X177。 Y)=D(X)+D(Y)，充分条件： X 和 Y 独立；。