高一数学必修1各章知识点总结例题解析习题及答案

高一数学必修1各章知识点总结例题解析习题及答案内容摘要：

x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数 .区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间 . 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1， x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)＞ f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间 上是减函数 .区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间 . 注意：函数的单调性是函数的局部性质； （ 2） 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有 (严格的 )单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的 . (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： ○ 1 任取 x1， x2∈ D，且 x1x2 ； ○ 2 作差 f(x1)－ f(x2)； ○ 3 变形（通常是因式分解和配方）； ○ 4 定号（即判断差 f(x1)－ f(x2)的正负）； ○ 5 下结论（指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性）． (B)图象法 (从图象上看升降 ) (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x)， y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起 写成其并集 . 上的单调性 . 证明：在 (0， +∞ )上任取 x x2(x1≠ x2)， 令△ x=x2x1＞ 0 则 ∵ x1＞ 0， x2＞ 0，∴ ∴上式＜ 0，∴△ y=f(x2)f(x1)＜ 0 ∴ 上递减 . 总结升华： [1]证明函数单调性要求使用定义； [2]如何比较两个量的大小。 (作差 ) [3]如何判断一个式子的符号。 (对差适当变形 ) 疯狂国际教育（内部） 11 举一反三： 【变式 1】用定义证明函数 上是减函数 . 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径 . 证明：设 x1， x2 是区间 上的任意实数，且 x1＜ x2，则 ∵ 0＜ x1＜ x2≤ 1 ∴ x1x2＜ 0， 0＜ x1x2＜ 1 ∵ 0＜ x1x2＜ 1 故 ，即 f(x1)f(x2)＞ 0 ∴ x1＜ x2 时有 f(x1)＞ f(x2) 上是减函数 . 总结升华：可以用同样的方法证明此函数在 上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象 . 2. 判断下列 函数的单调区间； (1)y=x23|x|+2； (2) 解： (1)由图象对称性，画出草图 疯狂国际教育（内部） 12 ∴ f(x)在 上递减，在 上递减，在 上递增 . (2) ∴图象为 ∴ f(x)在 上递增 . 3. 已知函数 f(x)在 (0， +∞ )上是减函数，比较 f(a2a+1)与 的大小 . 解： 又 f(x)在 (0， +∞ )上是减函数，则 . 2．函数的奇偶性（整体性质） （ 1）偶函数 一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(－ x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函 数． （ 2）．奇函数 一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(－ x)=— f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数． （ 3）具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 疯狂国际教育（内部） 13 ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○ 2 确定 f(－ x)与 f(x)的关系； ○ 3 作出相应结论：若 f(－ x) = f(x) 或 f(－ x)－ f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；若 f(－ x) =－ f(x) 或 f(－ x)＋ f(x) = 0，则 f(x)是奇函数． 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数 .若对称， (1)再根据定义判定。 (2)由 f(x)177。 f(x)=0 或 f(x)／f(x)=177。 1 来判定。 (3)或借助函数的图象判定 . ： (1) (2) (3)f(x)=x24|x|+3 (4)f(x)=|x+3||x3| (5) (6) (7) 思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断 . 解： (1)∵ f(x)的定义域为 ，不关于原点对称，因此 f(x)为非奇非偶函数； (2)∵ x1≥ 0，∴ f(x)定义域 不关于原点对称，∴ f(x)为非奇非偶函数； (3)对任意 x∈ R，都有 x∈ R，且 f(x)=x24|x|+3=f(x)，则 f(x)=x24|x|+3 为偶函数 ； (4)∵ x∈ R， f(x)=|x+3||x3|=|x3||x+3|=f(x)，∴ f(x)为奇函数； (5) ，∴ f(x)为奇函数； (6)∵ x∈ R， f(x)=x|x|+x ∴ f(x)=(x)|x|+(x)=x|x|x=f(x)，∴ f(x)为奇函数； (7) ，∴ f(x)为奇函数 . 2. 设定义在 [3， 3]上的偶函数 f(x)在 [0， 3]上是单调递增，当 f(a1)＜ f(a)时，求 a 的取值范围 . 解：∵ f(a1)＜ f(a) ∴ f(|a1|)＜ f(|a|) 而 |a1|， |a|∈ [0， 3] 疯狂国际教育（内部） 14 . 函数的解析表达式 （ 1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域 . （ 2）求函数的解析式的主要方法有： 凑配法 待定系数法 换元法 消参法 1. 求函数的解析式 (1)若 f(2x1)=x2，求 f(x)； (2)若 f(x+1)=2x2+1，求 f(x). 思路点拨：求函数的表达式可由两种途径 . 解： (1)∵ f(2x1)=x2，∴令 t=2x1，则 ； (2)f(x+1)=2x2+1，由对应法则特征可得： f(x)=2(x1)2+1 即： f(x)=2x24x+3. 举一反三： 【变式 1】 (1) 已知 f(x+1)=x2+4x+2，求 f(x)； (2)已知： ，求 f[f(1)]. 解： (1)(法 1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)1 ∴ f(x)=x2+2x1； (法 2)令 x+1=t，∴ x。