概率论与数理统计(经管类)课堂笔记

概率论与数理统计(经管类)课堂笔记内容摘要：

从中任取 2 个球结果与顺序无关，所以取法共有 个基本事件，所以基本事件总数为 种，每一种取法的结果是一 （ 1）分两 步取。 第一步，在 5 个白球中任取一个，方法数为 5；第二步在 3 个红球中取一个，方法数为 3，根据乘法原则，共有 53 种方法，即有 53 种结果。 （ 2）从 5 个白球中任取 2 个，结果与顺序无关 ∴ 取法共有（种） ∴ B包含的基本事件共有 r2=10 7 （种） （ 3）从 3 个红球中任取 2 个的方法为 ∴ C包含的基本事件数 r3=3 ∴ （ 4）所取 2 个球颜色相同的有两类： 第一类： 2 个球都是白球的方法有 第二类： 2 个球都是红球 的方法有（种） （种） 根据加法原则，所取 2 个球是颜色相同的方法共有 10+3=13 种。 ∴ 2 个球颜色相同的事件 D 包含 r4=13 种基本事件。 ∴ 例 6，袋中有 10 件产品，其中有 7 件正品， 3 件次品，从中每次取一件，共取两次，√√√√√√√ 求 :（ 1）不放回抽样，第一次取后不放回，第二次再取一件，而且第一次取到正品，第二次取到次品的事件 A的概率。 （ 2）放回抽样，第一次取一件产品，放回后第二次再取一件，求第一次取到正品，第二次取到次品的事件 B的概率 解（ 1）第一次取一件产品的方法有 10 种 ∵ 不放回， ∴ 第二次取一件产品的方法有 9 种 由乘法原则知，取两次的方法共有 109 种 也可以用排列数计算，因为结果与顺序有关，所以取法有 ∴ 基本事件总数 n=109 第一次取到正品，第二次取到次品的方法有 73 种，所以事件 A包含的基本事件有： （种） （ 2）放回抽样。 由于有放回，所以第一次、第二次取一件产品的方法都是 10 种，由乘法原则知抽取方法共有 1010=100 种，所以基本事件总数 n=1010=100 第一次取正品方法有 7 种，第二次取次品的方法有 3 种，由乘法原 则，事件 B包含的基本事件共有 例 7，将一套有 1,2,3,4,5 分册的 5 本书随机放在书架的一排上，求 1， 2 分册放在一起的事件 A的概率。 解：（ 1）基本事件总数 n=54321（种） 或者为 （种） 8 （ 2） A包含的基本事件有 例 8，掷两次骰子，求点数和为 7 的事件 A的概率。 解：（ 1）基本事件总数 n=66=36（种） （ 2） A=｛ ①⑥ ； ②⑤ ； ③④ ； ④③ ； ⑤② ； ⑥① ｝ ∴ A包含的基本事件数 r=6 例 9，从 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7 这七个数码中任取 3 个，排成三位数，求（ 1）所排成的三位数是偶数的事件 A的概率。 （ 2）所排成的三位数是奇数的事件 B的概率。 解：基本事件总数（个） （ 1）所排成的三位数是偶数的取法需分两步： 第一步，取一个偶数放在个位码位置，取法有 3 种； 第二步，将其余 6 个数中任取两个排成一排，分别处于十位数和百位数码位置，共有 方法。 根据乘法原则，事件 A包含的基本事件数 种 （ 2）所排成的三位数的取法也需分两步进行； 第一步，取一个奇数放在个位码位置 ，有 4 种方法。 第二步，将其余 6 个数中任取两个放在十位码和百位码，方法有 根据乘法原则，事件 B包含的基本事件数 种。 例 10，袋中有 9 个球，分别标有号码 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 从中任取 3 个球，求 （ 1）所取 3 个球的最小号码为 4 的事件 A的概率； （ 2）所取 3 个球的最大号码为 4 的事件 B的概率； 解：基本事件总数 （ 1）最小号码为 4 的取法分两步进行 第一步，取出 4 号球，方法只有 1 种 （个） 第二步，在 5， 6， 7， 8， 9 这 5 个球中任取 2 个，方法数为 ∴ A包含的 基本事件 （ 2）最大码为 4 的取法为： 第一步，取出 4 号球方法只有 1 种 9 第二步，在 1， 2， 3 号球中任取 2 个，方法数为 ∴ B包含的基本事件 例 11，将两封信投入 4 个信箱中，求两封信在同一信箱的事件 A的概率。 解：（ 1）先将第一封信投入信箱，有 4 种方法 再将第二封信投入信箱，也有 4 种方法 ∴ 根据乘法原则共有 44 种方法 ∴ 基本事件总数 n=44 （ 2）将两封信同时投入一个信箱，方法有 4 种 ∴ A包含的基本事件数 r=4 例 12，袋中有 10 个球，其中有 6 个白球， 4 个红球，从中任取 3个，求： （ 1）所取的三个球都是白球的事件 A的概率 （ 2）所取三个球中恰有 2 个白球一个红球的事件 B的概 （ 3）所取 3 个球中最多有一个白球的事件 C 的概率 （ 4）所取 3 个球颜色相同的事件 D 的概率 解：基本事件总数 （ 1） A包含的基本事件数 （ 2） B包含的基本事件数 （ 3） C 的基本事件包含两类： 第一类，一个白球，二个红球的取法有 第二类， 0 个白球，三个红球取法有 种 ∴ 事件 C包含的基本事件数 （ 4）事件 D 包含的基本事件有两类： 第一类，三个球都是白球的取法有种 10 第二类，三个球都是红球的取法有 ∴ 事件 D 包含的基本事件数种 （种） （四）概率的加法公式 请先看下面引例： 掷一次骰子， A=｛ 1， 3， 5｝， B=｛ 1， 2， 3｝请求： （ 1） P（ A）； （ 2） P（ B） （ 3） P（ A+B）； （ 4） P（ AB） 解：（ 1） 下面公式： 特别情形： （ 2）（ 3） （ 4） 由本例看出， P（ A+B） =P（ A） +P（ B） P（ AB），本例的结果具有普遍性，下面我们不加证明地介绍 （ 1）如果 A与 B互斥，即 AB=Φ则 P（ AB） =0 这时 （ 2）因为 A与有性质所以 的概率则较易计算时，便可以 当上面等式中左边的概率 P（ A）不易求得，而且 A的对立事件 通过容易计算的求难计算的概率 P（ A）。 例 1 若 P（ A） =， P（ A+B） =， P（ AB） =，求 P（ B） 解 ：因为 P（ A+B） =P（ A） +P（ B） P（ AB） ∴ P（ B） =P（ A+B） +P（ AB） P（ A） =+= 例 2，袋中有 10 件产品，其中有 6 件正品， 4 件次品，从只任取 3件，求所取 3 件中有次品的事件 A的概率。 解： A表示有次品，它包含有 1 件次品，有 2 件次品，有 3 件次品三类事件，。