根据递推公式求数列通项公式的常用方法总结归纳

根据递推公式求数列通项公式的常用方法总结归纳内容摘要：

（ 2）当 n 为奇数时： 分析到这里发现21?na “落单”了，似乎遇到了阻碍，此时鼓励学生不能放弃，在老师的适当引导下，不难发现 ，21?na的角标与 角标的关系 从而得到，无论 n 取奇数还是偶数， 总结：（ 1）类比高斯算法将首尾分组进行“配对”，发现需要对 n 取奇偶进行讨论，思路自然，容易掌握。 （ 2）不少资料对 n 取奇数时的处理办法是，当讨论进行不下去时转向寻求其它解决办法，进而引出倒序相加求和法。 naa?1nnnn aaaaS ?????? ? ?? 1221)(2 1 nn aanS ???nnnnn aaaaaS ??????? ????? ?? 12 12 112 11)( 1 naa ?2 11)(2 1 ????? nnn aaanS2)(21 2 12 11?? ????? nnnaaaan)(2 1 naan ??)(2 1 nn aanS ?? 方法二： 对 n 的奇偶进行讨论有点麻烦，能否回避对 n 的讨论呢。 接下来给出实际问题： 伐木工人是如何快速计算堆放在木场的木头根数呢。 由此引入倒序相加求和法。 两式相加得： 总结：（ 1）数学学习需要最优化的学习，因此引导学生去寻求更有效的解决办法，让学生在解决问题的同时也体会到同一个问题有不同的解决办法，而我们需要的是具备高效率的方法。 （ 2） 倒序相加求和法是重要的数学思想，方法比公式本身更为重要，为以后数列求和的学习做好了铺垫。 （ 3）在过程中体会数学的对称美。 三、 一般 的递推数列通项公式的常用方法 一、 公式法 例 已知无穷数列 ??na 的前 n 项和为 nS ，并且 *1( )nna S n N? ? ?，求 ??na 的通项公式。 【解析】： 1nnSa?? ， ? 1 1 1n n n n na S S a a? ? ?? ? ? ?， ? 1 12nnaa? ?，又1 12a?， ? 12nna ???????. 反思：利用相关数列 ??na 与 ??nS 的关系： 11aS? , 1n n na S S ??? ( 2)n? 与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键 . 二、 归纳猜想法 ：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法 . 例 已知数列 ??na 中， 1 1a? ， 12 1( 2)nna a n?? ? ?， 求数列 ??na 的通项公式 . nnn aaaaS ????? ? 121 ?121 aaaaS nnn ????? ? ?)(2 1 nn aanS ??)(2 1 nn aanS ??? 【解析】： 1 1a? ， 12 1( 2)nna a n?? ? ?， ? 2121aa??3? ， 3221aa??7? ???? 猜测 21nna ?? *()nN? ，再用数学归纳法证明 .（略） 反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性 . 三 、 累加法 ：利用 1 2 1 1( ) ( )n n na a a a a a ?? ? ? ? ??? ?求通项公式的方法称为累加法。 累加法是求型如 1 ()nna a f n? ?? 的递推数列通项公式的基本方法（ ()fn可求前 n 项和） . 例 3 、已知无穷数列 ??na 的的通项公式是 12nna ???????，若数列 ??nb 满足 1 1b? ，1 12nnnbb? ????????( 1)n?，求数列 ??nb 的通项公式 . 【解析】： 1 1b? ,1 12nnnbb? ????????( 1)n?,? 1 2 1 1( ) ( )n n nb b b b b b ?? ? ? ? ??? ?=1+12 +...+ 112n???????= 1122n????????. 反思 :用 累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为 1 ()nna a f n? ??。 四 、累乘法 :利用恒等式 321 1 2 1 ( 0 , 2)nnnnaaaa a a na a a ?? ??? ? ?求通项公式的方法称为累乘法 ,。