期末总复习-微积分知识总结

期末总复习-微积分知识总结内容摘要：

和 2 等做端点，同样可以证明之。 取 0和 1 只是因为计算简单罢了。 8 第三部分 导数与微分 求函数的导数与微分自然是作为高等数学（即微积分）考核的主要内容，应该做到十分熟练。 其考核比例为 30%。 一、重点内容提要 掌握导数的定义和几何意义 xxfxxfxyxfxxxfxfxxfxxfxyxfxxxxxx)()(limlim)()()(lim)()(limlim)(0039。 000000039。 0 熟练掌握求导方法 （ 1）熟练基本初等函数的导数公式（按照所给的规律性成对记忆） （ 2）掌握导数的四则运算法则 （ 3）熟练掌握复合函数的求导 法则 （ 4）掌握隐函数的求导法则 （ 5）熟练掌握高阶导数的求法（以二阶导数为主） 二、 典型例题 类型题 求显函数的导数 例 1 求函数 y=x3+ xx cos3  +arctanx+ln2,求 39。 y 的导数； 解 利用基本求导公式和四则运算法则， 39。 y =3x2+2321 1sin31 xxx  例 2 设 y=e3x+ln(2x3+1), 求 39。 y . 解 先利用四则运算法则有 y’=（ e3x） / +   39。 3 )12(ln x 再分别使用复合函数求导法则，即得 /y = — 3e3x+ 23 612 1 xx  = — 3e3x + 12632xx 例 3 xey 1arctansin 求 39。 y 类型题 隐函数 求导方法 例 1 求由方程 x2xy+y2=7 所确定的隐函数 )(xfy 在点 (2,1)处的导数 dxdy。 9 解 方程两边对 x 求导有： 2x(y+x 39。 y )+2y 39。 y =0 解得 39。 y =xy xy 2 2，于是有 39。 y   452 2)1,2(1,2 xyxy 类型题 取对数求导法 例 1 39。 )0( yaaaxxy axax 求 例 2 39。 sin yxy x 求 例 3 39。 4 3)7( )5(4 )2( yxxxxy 求 类型题 求函数的微分 补充：设 y= 22 )(1 arctgxx  ，求 dy. 解：∵2222 1211 1221 121 xa r c t g xxxxa r c t g xxxy  ∴ dy= )121( 22 xa rc tg xxxdxy dx 例 设 y=xy+ey 求 dy. 解 注意到函数 y 是由二元方程所确定，方程两边对 x 求导：得 39。 y =y+x 39。 y +ey 39。 y  39。 y =yexy1  dy=yexy1dx. 小结 求函数 y=f(x)的微分，只要求出 f(x)的导数 39。 f (x)，再乘以 dx 就可以了，即 dy = 39。 f (x)dx。 故这里仅此一例足以了 类型题 导数的几何应用 例 1 求抛物线 y=x2上点  41,21处的切线方程 . 10 解  1239。 2121 xxxy （点 )41,21( 在曲线上）， 抛物线 y=x2上点  41,21处的切线方程为 y—41=   211 x 即 4x+4y+1=0. 注意 在求 曲线的切线方程时，要特别注意所给点是否在曲线上。 第四部分 导数的应用 11 一、 重点内容提要 掌握罗必达法则 掌握函数增减性的导数符号判别法 （ 1）函数单调性的判断定理 （ 2）单调区间的确定 掌握函数的极值及其求法 知道曲线的凹向与拐点 ,掌握曲线凹 向的判别法与拐点的的求法 掌握函数的最值的求法 二、典型例题 类型题 求未定型的极限 例 1 求极限0limx xeexx2sin 2 ： 解 0limx xeexx2sin 2 （呈 00 型） =0limx  xxee xx cossin20limx xeexx 2sin  (仍呈 00 型 )==0limx 12 112cos2 xee xx 例 2 求下列函数的极限： （ 1）1limx（ 1x） tan 2x ； （ 2） 1limx   xx ln112. 解：（ 1）1limx（ 1x） tan 2x （呈 0 型） ==1limx2cot1 xx （呈 00 ） == 1limx22csc12   x =1limx  22sin2 2x . (2) 1limx   xx x ln11（呈  型） ==1limx xx xxx ln)1( 1ln （呈 00 型） ==1limxxxxx 1ln11ln  == 1limxxxx 11lnln===21 小结 （ 1）罗必塔法则既不是万能的，也不一定是最简的。 （ 2）罗必塔法则可以连续使用，但每一次使用前都必须检查是否满足法则的条件，只有三个条件都满足了，才能继续使用。 （ 3）使用罗必塔法则时，要及时化简。 12 类型题 函数单调性的判定和应用 例 求证 2 x 3x1（ x1） 证明 设 f（ x） =2 x  x13，则 39。 f (x)=232 111 xxxx  当 x1 时 39。 f (x)0 故 f（ x）单调增加， 于是有当 x1 时 f (x)f(1)=0 即 2 x  x130 即 2 x 3x1 注意： 了解和总结利用单调性证明不等式的步骤是必要的。 类型题 函数的极值。