圆锥曲线题型总结

圆锥曲线题型总结内容摘要：

， 212 23( 1)31mxx k ?? ?。 2 2221(1 ) ( )A B k x x? ? ? ? 2 2 222 2 23 6 1 2 ( 1 )(1 ) ( 3 1 ) 3 1k m mk kk???? ? ??????? 2 2 2 2 22 2 2 21 2 ( 1 ) ( 3 1 ) 3 ( 1 ) ( 9 1 )( 3 1 ) ( 3 1 )k k m k kkk? ? ? ? ????? 2422 21 2 1 2 1 23 3 ( 0 ) 3 419 6 1 2 3 696k kkkk k? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ≤。 当且仅当 2219k k?，即 33k?? 时等号成立。 当 0k? 时， 3AB? ， 综上所述 max 2AB ?。 ?当 AB 最大时， AOB△ 面积取最大值m a x1 3 32 2 2S AB? ? ? ?。 题型七：弦或弦长为定值问题 例题 在平面直角坐标系 xOy 中，过定点 C（ 0， p）作直线与抛物线 x2=2py（ p0）相交于 A、 B 两点。 （Ⅰ）若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点，求△ ANB 面积的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于 y 轴的直线 l，使得 l被以 AC 为 直 径 的 圆 截 得 弦 长 恒 为 定 值。 若 存 在 ， 求 出 l 的 方 程 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理 由。 （Ⅰ）依题意，点 N 的坐标为 N（ 0,p） ,可设 A（ x1,y1） ,B（ x2,y2），直线 AB 的方程为 y=kx+p,与 x2=2py 联立得 6 ??? ??? .22 pkxy pyx 消去 y 得 x22pkx2p2= x1+x2=2pk,x1x2= 21221 xxpSSS A C NB C NABN ????? ??? ＝ 2122121 4)( xxxxpxxp ???? ＝ .2284 22222 ??? kppkpp 222m in0 pSk ABN ??? ? ）时，（当 . （Ⅱ）假设满足条件的直线 l 存在，其方程为 y=a,AC 的中点为 为直与 ACtO,? 径的圆相交于点 P、 Q， PQ 的中点为 H，则 ）点的坐标为（ 2,2, 11 pyxOPQHO ???? 2121 )(2121 pyxACPO ??????＝ 22121 py ?. ,2212 11 pyapyaHO ??????? 222 HOPOPH ????? = 21221 )2(41)(41 pyap ???? ＝ ),()2(1 apaypa ??? 22 )2( PHPQ ?? = .)()2(4 2 ?????? ??? apaypa 令 02??pa ，得 pPQpa ?? 此时,2 为定值，故满足条件的直线 l 存在，其方程为 2py? ， 即抛物线的通径所在的直线 . 解法 2： （Ⅰ）前同解法 1，再由弦长公式得 2222212212212 8414)(11 pkpkxxxxkxxkAB ???????????? ＝ .212 22 ??? kkp 又由点到直线的距离公式得212 kpd ?? . 从而， ,221 22122121 22222 ????????????? kpkpkkpABdS ABN .22m a x0 2pSk ABN ??? ? ）时，（当 （Ⅱ）假设满足条件的直线 t 存在，其方程为 y=a，则以 AC 为直径的圆的方程为 ,0))(())(0( 11 ?????? yypyxxx 将直线方程 y=a 代入得 7 ).(1)2(4))((4,0))((121112apaypayapaxyapaxxx???????? ???????????＝则 设直线 l 与以 AC 为直径的圆的交点为 P（ x2,y2） ,Q（ x4,y4） ,则有 .)()2(2)()2(4 1143 apaypaapaypaxxPQ ?????????? ?????? 令 pPQpapa ???? 此时得 ,2,02为定值，故满足条件的直线 l 存在，其方程为2py?. 即抛物线的通径所在的直线。 题型八：角度问题 例题 （如图（ 21）图， M（ 2， 0）和 N（ 2， 0）是平面上的两点，动点 P 满足： PN??（Ⅰ）求点 P 的轨迹方程；（Ⅱ）若 21 c osP M P N M P N??＝,求点 P 的坐标 . 解： (Ⅰ )由椭圆的定义，点 P 的轨迹是以 M、 N 为焦点，长轴长 2a=6 的椭圆 . 因此半焦距 c=2，长半轴 a=3，从而短半轴 b= 22 5ac??所以椭圆的方程为 ?? (Ⅱ )由 2 ,1 c osP M P N M P N? ?得 c o s 2 .P M P N M P N P M P N?? ① 因为 cos 1,MPN P? 不为椭圆长轴顶点，故 P、 M、 N 构成三角形 .在△ PMN 中， 4,MN ? 由 余 弦 定 理 有 2 2 2 2 c o s .M N P M P N P M P N M P N? ? ? ② 将①代入②，得 2224 2 ( 2 ) .P M P N P M P N? ? ? ? 故点 P 在以 M、 N 为焦点，实轴长为 23的双曲线 2 2 13x y??上 . 由 (Ⅰ )知，点 P 的坐标又满足 22195xy??，所以 由方程组 225 9 45,3 ? ??????。