初中二次函数知识点总结与练习题

初中二次函数知识点总结与练习题内容摘要：

( acbM 在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （ 2）已知二次函数 y=ax2+bx+c（ a≠ 0）的图象如图 2 所示， 则下列结论：① a、 b 同号；②当 x=1和 x=3时，函数值相等；③ 4a+b=0；④当 y=2时， x的值只能取 （ ） A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 (1) (2) 8 【点评】弄清抛物线的位置与系数 a， b， c之间的关系，是解决问题的关键． 例 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 (2， O)、 (x1， 0)，且 1x12，与 y 轴的正半轴的交点在点 (O， 2)的下方．下列结论： ①ab0 ； ②2a+cO ； ③4a+cO ； ④2a b+1O，其中正确结论的个数为 ( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D． 4个 答案： D 会用待定系数法求二次函数解析式 例 ：关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c=3的一个根为 x=2，且二次函数 y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为 ( ) A(2， 3) B.(2， 1) C(2， 3) D． (3， 2) 答案： C 例 （ 2020年烟台市）如图（单位： m），等腰三角形 ABC以 2米 /秒的速度沿直线 L向正方形移动，直到AB与 CD重合．设 x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2． （ 1）写出 y与 x的关系式； （ 2）当 x=2， ， y分别是多少。 （ 3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间。 求抛物线顶点坐标 、 对称轴 . 例 已知抛物线 y=12 x2+x52 ． （ 1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴． （ 2）若该抛物线与 x轴的两个交点为 A、 B，求线段 AB的长． 【点评】本题（ 1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（ 2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系． 例 ：二次函数 y=ax2(b+1)x3a的图象经过点 P(4， 10)，交 x轴于 )0,( 1xA ， )0,( 2xB 两点 )( 21 xx  ，交 y轴负半轴于 C点，且满足 3AO=OB． (1)求二次函数的解析式； (2)在二次函数的图象上是否存在点 M，使锐角 ∠MCO∠A CO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由． (1)解：如图∵抛物线交 x轴于点 A(x1， 0)， B(x2， O)， 则 x1 x2=30，又∵ x1x2， ∴ x2O， x1O，∵ 30A=OB，∴ x2=3x1． ∴ x1 x2=3x12=3．∴ x12=1. x10，∴ x1=1．∴． x2=3． ∴点 A(1， O)， P(4， 10)代入解析式得解得 a=2 b=3 ∴．二次函数的解析式为 y2x24x6． (2)存在点 M使∠ MC0∠ ACO． (2)解：点 A关于 y轴的对称点 A’ (1， O)， ∴直线 A， C解析式为 y=6x6直线 A39。 C与抛物线交点为 (0， 6)， (5， 24)． ∴符合题意的 x的范围为 1x0或 Ox5． 当点 M的横坐标满足 1xO或 Ox5时，∠ MCO∠ ACO． 例 “已知函数 cbxxy  221 的图象经过点 A（ c，－ 2）， 求证：这个二次函数图象的对称轴是 x=3。 ”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。 （ 1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式。 若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。 9 （ 2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。 点评： 对于第（ 1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解 析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点 A（ c，－ 2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。 对于第（ 2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（ 1）小题中的解析式就可以了。 而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。 [解答 ] （ 1）根据 cbxxy  221的图象经过点 A（ c，－ 2），图象的对 称轴是 x=3，得,3212,221 2bcbcc 解得  .2 ,3cb 所以所求二次函数解析式为 .2321 2  xxy 图象如图所示。 （ 2）在解析式中令 y=0，得 02321 2  xx ，解得 .53,53 21  xx 所以可以填“抛物线与 x轴的一个交点的坐标是（ 3+ )0,5 ”或“抛物线与 x轴的一个交点的坐标是).0,53(  令 x=3代入解析式，得 ,25y 所以抛物线 2321 2  xxy 的顶点坐标为 ),25,3(  所以也可以填抛物线的顶点坐标为 )25,3(  等等。 函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。 用二次函数解决最值问题 例 1已知边长为 4的正方形截去一个角后 成为五边形 ABCDE（如图），其中 AF=2， BF=1．试在 AB上求一点P，使矩形 PNDM有最大面积． 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间． 例 2 某产品每件成本 10元，试销阶段每件产品的销售价 x（元） 与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表： x（元） 15 20 30 „ y（件） 25 20 10 „ 若日销售量 y是销售价 x的一次函数． （ 1）求出日销售量 y（件） 与销售价 x（元）的函数关系式； （ 2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元。 此时每日销售利润是多少元。 10 A O x y B O x y C O x y D O x y 【解析】（ 1）设此一次函数表达式为 y=kx+b．则 15 25,2 20kbkb  解得 k=1， b=40， 即一次函数表达式为 y=x+40． （ 2）设每件产品的销售价应定为 x元，所获销售利润为 w元 w=（ x10）（ 40x） =x2+50x400=（ x25） 2+225． 产品的销售价应定为 25元，此时每日 获得最大销售利润为 225元． 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（ 1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中， “某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（ 2） 问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 例 ?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 m，距地面均为 1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1m、2． 5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他 们的头顶．已知学生丙的身高是 1． 5 m，则学生丁的身高为 (建立的平面直角坐标系如右图所示 ) ( ) A． 1． 5 m B． 1． 625 m C． 1． 66 m D． 1． 67 m 分析：本题考查二次函数的应用 答案： B 二．二次函数部分 1．如图所示是二次函数 2y ax bx c   图象的一部分，图象过 A。