概率论与数理统计学习手册

概率论与数理统计学习手册内容摘要：

布 （ 1）离散型随机变量函数的分布 设 X 为离散型随机变量，其分布列为 (表 22)： 表 22 X 1x 2x 3x „ nx „ P 1p 2p 3p „ np „ 则 )(XgY 任为离散型随机变量，其分布列为 (表 23)： 19 表 23 Y )( 11 xgy  )( 22 xgy  )( 33 xgy  „ )( nn xgy  „ P 1p 2p 3p „ np „ iy 有相同值时，要合并为一项，对应的概率相加 . （ 2）连续型随机变量函数的分布 设 X 为离散型随机变量，概率密度为 )(xfX ，则 )(XgY 的概率密度有两种方法可求 . 1）定理法：若 )(xgy 在 X 的取值区间内有连续导数 )(xg ，且 )(xg 单调时， )(XgY 是连续型随机变量，其概率密度为   其它,0 ,)()]([)(  yyhyhfyf XY . 其中 )() } .(),(m a x {) } ,(),(m in { yhgggg   是 )(xg 的反函数 . 2）分布函数法：先求 )(XgY 的分布函数   k y xYkdxxfyXgPyYPyF )( )(})({}{)( ，然后求 ])([)(  yFyf YY . 疑 难 分 析 随机变量与普通函数 随机变量是定义在 随机试验的样本空间  上，对试验的每一个可能结果 ，都有唯一的实数 )(X 与之对应 .从定义可知：普通函数的取值是按一定 20 法则给定的，而随机变量的取值是由统计规律性给出的，具有随机性；又普通函数的定义域是一个区间，而随机变量的定义域是样本空间 . 分布函数 )(xF 的连续性 定义左连续或右连续只是一种习惯 .有的书籍定义分布函数 )(xF 左连续，但大多数书籍定义分布函数 )(xF 为右连续 . 左连续与右连续的区别在于计算 )(xF时， xX 点的概率是否计算在内 .对于连续型随机变量，由于 0}{ 1  xXP ，故定义左连续或右连续没有什么区别；对于离散型随机变量，由于0}{ 1 xXP ，则定义左连续或右连续时 )(xF 值就不相同，这时，就要注意对)(xF 定义左连续还是右连续 . 例 题 解 析 【例 1】 分析下列函数是否是分布函数 .若是分布函数，判断是哪类随机变量的分布函数 . （ 1）.0,1,02,21,2,0)(xxxxF　　（ 2）.,1,0,s in,0,0)(xxxxxF　　 （ 3）.21,1,210,21,0,0)(xxxxxF　　　　 分析：可根据分布函数的定义及性质进行判断 . 21 解：（ 1） )(xF 在 ）（  , 上单调不减且右连续 .同时， 1)(lim,0)(lim   xFxF xx .故 )(xF 是随机变量的分布函数 .有 )(xF 的图形可知是阶梯形曲线，故 )(xF 是离散型随机变量的分布函数； （ 2）由于 )(xF 在 ],2[ 上单调下降，故 )(xF 不是随机变量的分布函数 .但只要将 )(xF 中的  改为2， )(xF 就满足单调不减右连续，且1)(lim,0)(lim   xFxF xx ，这时 )(xF 就是随机变量的分布函数 .由 )(xF 可求得  .20,c os,0)()( xxxFxf　　其它，显然， )(xF 是连续型随机变量的分布函数； （ 3） )(xF 在 ）（  , 上单调不减且右连续，且 1)(,0)(  FF ，是随机变量的分布函数 .但 )(xF 在 0x 和 21x 处不可导，故不存在密度函数)(xf ，使得   x xFdxxf )()( .同时， )(xF 的图形也不是阶梯形曲线，因而)(xF 既非连续型也非离散型随机变量的分布函数 . 【例 2】 盒中装有大小相等的球 10 个，编号分别为 0、 „ 、 1个，观察号码是 “ 小于 5” 、 “ 等于 5” 、 “ 大于 5” 的情况 .试定义一个随机变量，求其分布律和分布函数 . 分析：“任取 1 球的号码 ” 是随机变量，它随着试验的不同结果而取不同的值 .根据号码是 “ 小于 5” 、 “ 等于 5” 、 “ 大于 5” 的三种情况，可定义该随机变量的取值 .进一步，可由随机变量的分布律与分布函数的定义，求出 其分布律与分布函数 . 22 解 :分别用 321  、 表示试验的三种结果 “小于 5” 、 “ 等于 5” 、 “ 大于 5” ，这时试验的样本空间为 },{ 321  ，定义随机变量 X 为：321,2,1,0)(XX ， X 取每个值的概率为： 105}0{ XP ， 101}1{ XP，104}2{ XP；故 X 的分布律为 (表 24)： 表 24 当 0x 时 ， 0}{)(  xXPxF ； 当 10 x 时， 105}0{}{)(  XPxXPxF ； 当 21 x 时， 106}1{}0{}{)(  XPXPxXPxF ； 当 x2 时， 1}2{}1{}0{}{)(  XPXPXPxXPxF ； 由此求得分布函数为：2,121,10610,1050,0}{)(xxxxxXPxF . 【例 3】 设 1 小时内进入某图书馆的读者人数服从泊松分布 .已知 1 小时内无人进入图书馆的概率为 1 小时内至少有 2 个读者进入图书馆的概率 . X 0 1 2 kP 105 101 104 23 分析： 1 小时内进入图书馆的人数是一个随机变量 X ，且 )(~ PX .这样，}0{ X 表示在 1 小时内无人进入图书馆， }2{ X 表示在 1 小时内至少有 2 人进入图书馆 .通过求参数  ，进一步，求 }2{ XP . 解：设 X 为在 1 小时内进入图书馆的人数，则 )(~ PX ，这时：,1,0,!}{   kkekXP k  已知 }0{  eXP ，故 10ln2 .所求概率为： )10ln21(}2{     eeXP . 【例 4】 设随机变量 X 的密度函数为 　　其它,01,1)( 2 xxcxf ，试求： （ 1）常数 c ；（ 2） }210{  XP ；（ 3） X 的分布函数 . 分析：由密度函数的性质 1)(  dxxf 可求得常数 c ；对密度函数在 ]21,0[上积分，即得 }210{  XP ；根据连续型随机变量分布函数的定义可求 X 的分布函数 . 解：（ 1）由 cxcdxxcdxxf    1111 2 |a r c s in1)(1得： 1c ； （ 2）61|a r c s in11 11}210{ 2121 020   xdxxXP ； 24 （ 3）当 1x 时， }{ xX 是不可能事件，所以 0}{)(  xXPxF ；当 1x 时，21a r c s i n1|a r c s i n11 11)()( 121    xxdxxdxxfxF xxx ； 当 1x 时， 11 11)()( 21 1    dxxdxxfxF x ；所以， X 的分布函数为： 1,11,21a r c s in11,0)(xxxxxF　　　　　　　　　　. 【例 5】 设顾客在某银行窗口等待服务的时间 X （以分计）服从指数分布，其概率密度为  　其它,0 0,)(551 xexf xX，某顾客在窗口等待服务，若超过 10 分钟，他就离开 .他一个月要到银行 5 次，以 Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出 Y 的分布律，并求 }1{ YP . 分析：显然， Y 为 随机变量，取值为 0、 5，且 ),5(~ pBY .由}10{  XPp 及分布律的定义，可求得 Y 的分布律，进而求 }1{ YP . 解： Y 的取值为 0、 5， ),5(~ pBY .由题意得： 210 5110 5)(}10{     edxedxxfXPp xX，故 Y 的分布律为： 5,4,3,2,1,0,)1(}{ 5225   keeCkXP kkk，即 (表 25): 25 表 25 Y 0 1 2 3 „ 5 kP 52)1( e 422 )1(5  ee 324 )1(10  ee 226 )1(10  ee „ 10e 所 以， 5 1 6 }0{1}1{1}1{  XPYPYP . 【例 6】 某单位招聘 2500 人，按考试成绩从高分到低分依次录用，共有 10000 人报名，假设报名者的成绩 ),(~ 2NX ，已知 90 分以上有 359 人， 60 分以下有1151 人，问被录用者中最低分为多少。 分析：已知成绩 ),(~ 2NX ，但不知 、 的值，所以，本题的关键是求 、 ，再进一步根据正态分布标准化方法进行求解 . 解：根据题意 ： 0 35 00 0 03 59}90{ XP ，故9 6 4 }90{1}90{  XPXP ，而 )90(}90{}90{     XPXP ，反查标准正态分布表，得：   （ 1） 同样， }60{ XP ，而 )60(}60{}60{}60{     XPXPXP ，通过反查标准正态分布表，得：   （ 2） 由（ 1）、（ 2）两式解得： 10,72   ，所以 )10,72(~ 2NX ； 已知录用率为  ，设被录用者中最低分为 0x ，则 }{1}{ 00  xXPxXP ，而 26 )10 72(}10 7210 72{}{ 000  xxXPxXP ，反查标准正态分布表，得： 10720 x，解得： x 故：被录用者中最低分为 79 分 . 【例 7】 设 X 的分布律为 (表 26): 表 26 X 1 2 3 4 5 6 P 41 61 121 81 245 61 求 XY 2cos 的分布律 . 分析： X 是离散型随机变量， Y 也是离散型随机变量 .当 X 取不同值时，将 Y 那些取相等的值分别合并，并把相应的概率相加 .从而得到 Y 的分布律 . 解： X 与 Y 的对应关系如下表 27： 表 27 X 1 2 3 4 5 6 Y 0 1 0 1 0 1 P 41 61 121 81 245 61 由上表可知， Y 的取值只有 1， 0， 1 三种可能，由于 316161}6{}2{}1{  XPXPYP ， 241324512141}5{}3{}1{}0{  XPXPXPYP ， 81}4{}1{ 。