高考数学圆锥曲线知识点总结和例题详解

高考数学圆锥曲线知识点总结和例题详解内容摘要：

9 ∵ P 点在切线 PA、 PB 上， ∴ ∴ 直线 AB 的方程为 (2)在直线 AB 方程中，令 y=0，则 M( b 2 x0 ， 0)；令 x=0，则 N(0， b 2 y0 ) ∴ a 2 2 b 22 ab 22 ( y0a 2 |OM||ON| 2 x0 2 b2 2 ab 22 2516 ① ∵ 2b=8 ∴ b=4 代入 ① 得 a=25, b =16 ∴ 椭圆 C方程： y 2 2 25 x 2 16 （注：不剔除 xy≠0，可不扣分） (3) 假设存在点 P(x0， y0)满足 PA⊥ PB，连接 OA、 OB由 |PA|=|PB|知， 222 四边形 PAOB为正方形， |OP|=2|OA| ∴ ① 22222 又 ∵ P 点在椭圆 C 上 ∴ ② 由 ①② 知 x 2 b(aa 2 22 2 2 2 2 , 2y0 ab 2 222 ∵ ab0 ∴ a － b0 (1)当 a2－ 2b20，即 a 2b 时，椭圆 C 上存在点，由 P 点向圆所引两切线互相垂直； (2)当 a2－ 2b2，即 bb 时，椭圆 C 上不存在满足条件的 P 点 【例 6】 已知椭圆 C的焦点是 F1（－ 3， 0）、 F2（ 3， 0），点 F1 到相应的准线的距离为 33 ，过 F2 点且倾斜角为锐角的直线 l与椭圆 C 交于 A、 B两点，使得 |F2B|=3|F2A|. （ 1）求椭圆 C 的 方程；（ 2）求直线 l的方程 . 解：（ 1）依题意，椭圆中心为 O（ 0， 0）， 点 F1 到相应准线的距离为 a2=b2+c2=1+3=4 ∴ 所求椭圆方程为 x 2 b 2 c 2 33 ， 4 2 （ 2）设椭圆的右准线 与 l交于点 P，作 AM⊥ ， AN⊥ ，垂足 分别为 M、 N. 由椭圆第二定义， x 10 得 |AM| 同理 |BF2|=e|BN| 由 Rt△ PAM～ Rt△ PBN，得 分 3 的斜率 ∴ 直线 l的方程 即 【例 7】 已知点 B（－ 1， 0）， C（ 1， 0）， P 是平面上一动点，且满足|PC （ 1）求点 P 的轨迹 C对应的方程； （ 2）已知点 A（ m,2）在曲线 C 上，过点 A作曲线 C 的两条弦 AD 和 AE，且 AD⊥ AE，判断：直线 DE是否过定点。 试证明你的结论 . （ 3）已知点 A（ m,2）在曲线 C 上，过点 A作曲线 C 的两条弦 AD， AE，且 AD， AE 的斜率 k k2 满足 k1k2=：直线 DE过定点，并求出这个定点 . 解：（ 1）设 P(x,y)代入 (2)将 A(m,2)代入 得 化简得 得 点 A的坐标为 (1,2). 2 设直线 AD 的方程为 代入 y 由 可得 同理可设直线 得 代入 y 4 得 则直线 DE方程为 化简得 即 过定点 2(3)将 A(m,2)代入 得 设直线 DE的方程为 由 得 11 且 2 k 2 2 将 bk 22 代入化简得 b 2 2 将 代入 得 过定点 将 代入 得 过定点 (1,2),不合 ,舍去 定点为 【例 8】 已知曲线 xa 22 yb 22 的离心率 32. 233 ，直线 l过 A（ a， 0）、 B（ 0，－ b）两点，原点 O 到 l的距离是 （ Ⅰ ）求双曲线的方程； （ Ⅱ ）过点 B作直线 m 交双曲线于 M、 N 两点，若 OM 解：（ Ⅰ ）依题意， l方程为 32 ，求直线 m 的方程 . xa 32 即 ca 233 由原点 O 到 l的距离 3 ，得 2 2 abc 2 又 e 故所求双曲线方程为 x 3 2 （ Ⅱ ）显然直线 m 不与 x 轴垂直，设 m 方程为 y=kx－ 1，则点 M、 N 坐标（ x1,y1）、 （ x2,y2）是方程组 的解 消去 y，得 ① 依设， 由根与系数关系，知 x1 2 6k3k 2 63k 2 3k 2 2 ) 6k3k 2 2 = 63k 2 63k 2 ∴ － 23， k=177。 12 当 k=177。 12 时，方程 ① 有两个不等的实数根 或 故直线 l方程为 y y 2 【例 9】 已知动点 P 与双曲线 x 2 2 3 的两个焦点 F F2 的距离之和为定值， 12 19 且 的最小值为 ． （ 1）求动点 P 的轨迹方程； （ 2）若已知 D(0,3)， M、 N 在动点 P 的轨迹上且 DM 解：（ 1）由已知可得： ∴ , b 2 ，求实 数 的取值范围． 5 ， y 2 a 2 2 2 2 19 2a 2 2 2 ∴ 所求的椭圆方程为 (2)方法一： x 9 4 由题知点 D、 M、 N 共线，设为直线 m，当直线 m 的斜率存在时，设为 k，则直线 m 的方程为 y = k x +3 代入前面的椭圆方程得 (4+9k ) x +54 k +45 = 0 ① 由判别式 ，得 k2 再设 M (x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2)，则一方面有 2 2 59 .。