概率论与数理统计总结

概率论与数理统计总结内容摘要：

 其他,0,1)( bxaabxf 1,0)( ab axxF (2) 指数分布 )(E   其他,00,)( xexf x     0,1 0,0)( xe xxF x (3) 正态分布 N ( ,  2 )   xexf x 2 22 )(2 1)(     x t texF d21)( 2 22 )(  N (0,1) — 标准正态分布   xex x2221)(      xtex x t d21)( 22 三 随机变量函数的分布 离散型随机变量函数的分布：设 X 是离散型随机变量，则 Y=g(X)一般也是离散型随机变量。 此时，只需由 X 分布律求得 Y的分布律即可。 连续型随机变量函数的分布： （ 1）分布函数法；      yxg Xl XyY dxxfdxxflXPyF y )( )()( （ 2）设随机变量 X 具有概率密度 fX(x)，又设函数 g(x)处处可导且恒有 g(x)0 ( 或恒有 g(x)0) ，则 Y=g(X) 的 概 率 密 度 为        其他0  yyhyhfyf XY 其中 x=h(y)为 y=g(x)的反函数，          gggg ,m a x,m i n  第三章 多维随机变量及其分布函数 一、多维随机变量： 设 X1(ω),…,Xn(ω)为定义在样本空间 Ω 上的随机变量 ,由它们构成的一个向量 (X1, …,Xn)叫做 n 维随机变量或 n 维随机向量。 若对任意 xk∈ R,k=1,2,…n,称ｎ元函数     nkkknnnxXPxXxXxXPxxxF1221121 ,),( 为随机向量 (X1, …,Xn)的 (联合 )分布函数。 二、二维随机变量 二维随机变量 X 和 Y 的联合分布函数 ),(),( yYxXPyxF  yx, 二维离散型随机变量 （ 1） P{X=xi,Y=yj}=pij, i, j=1,2,…为随机向量 (X,Y)的 (联合 )分布律 . 其中： i j ijij pjip 1,2,1,0  （ 2） 若 (X,Y)的分布律为 P{X=xi,Y=yj}=pij, i,j=1,2,…则 (X,Y)的分布函数为  yyxx ijji pyxF ,),( 二维连续型随机变量 （ 1） 联合分布函数为 du dvvufyxF y x   ),(),(函数 f(x,y)称为二维向量 (X,Y)的 (联合 )概率密度 . 其中： 0),( yxf ，     1),( dxdyyxf （ 2）基本二维连续型随机向量分布 均匀分布： 其他0),(1),( GyxAyxf 二维正态分布：yxeyxfyyxx,121),( ])())((2)([)1(2 12212222212121212  三、边缘分布 定义：设 (X,Y)为二维随机向量其分布函数为 F(x, y)， X 和 Y 的分布函数分别记为 Fx(x)和 FY(y), 依次称 Fx(x),FY(y)为 (X,Y)关于 X 和关于 Y的边缘分布函数 . 公式： Fx(x)=P({X≤x}∩{Y+∞})=P{X≤x,Y+∞}=F(x,+∞) FY(y)=F(+∞, y). 离散型边缘分布律： 连续型边缘概率密度 ,),()( dyyxfxf X   dxyxfyfY   ),()( 四、随机变量的独立性 1．定义：设 F(x， y)及 Fx(x) ， FY(y)分别是二维随机变量 (X， Y)的分布函数及边缘分布函数。 若对于所有 x， y 有 F(x， y)=Fx(x)FY(y) 则称随机变量 X 和 Y 是相互独立的 离散型随机变量独立的等价条件 P{X=xi,Y=yj}=pij (i， j=1， 2， …) 其边缘分布分别律为 P{X=xi}=pi (i=1， 2， …) P{Y=yj}=p j (j=1， 2， …) 对于任意 i， j 有 : pij= pip j 连续型随机变量独立的等价条件 设 (X， Y)是连续型随机变量， f(x，y)， fx(x)， fY(y)分别为 (X， Y)的概率密度和边缘概率密度，则 X 和 Y 相互独立的充要条件是等式 f(x， y) = fx(x)fY(y) 对 f(x， y)， fx(x)， fY(y)的所有连续点成立 . 独立性推广的定理 定理 1. 如果随机变量 X1, X2,…, Xn 相互独立 ,I1,I2,…,In为数轴上任意 n个区间 ,则事件 {x1∈ I1},{x2∈ I2},…,{xn∈ In}相互独立 . 定理 2. 若 X1, X2,…, Xn 相互独立，则 (1)其中任意 k 个随机变量也相互独立。 (2) Y1=g1(X1), Y2=g2(X2),…, Yn=gn(Xn)也相互独立 , gi(x)(i=1,2,…,n)为 n个连续函数 定理 3. 若 (X1, X2,…, Xn)和 (Y1,Y2,…,Ym)相互独立，则 (1) (X1, X2,…, Xn)中任意 k 个随机变量构成的随机向量与 (Y1,Y2,…,Ym)中任意 l 个随机变量构成的随机向量也相互独立 . (2) g1 (X1, X2,…, Xn)与 g2 (Y1,Y2,…,Ym)也相互独立 , 其中 g1, g2为连续函数 . 五、条件分布 离散型随机变量的条件分布律： （ 1）在 Y=yj条件下随机变量 X 的条件分布律 .,2,1,}{ },{}|{  ippyYP yYxXPyYxXPjijjjiji （ 2）在 X=xi条件下随机变量 Y 的条件分布律 .,2,1,}{ },{}|{    jppxXP yYxXPxXyYP iiji jiij （ 3）条件分布函数：   xx jijjYX i yYxXPyYxXPyxF }|{}|{)|(| jxx ijxx jij p ppp ii     同理：iyy ijiXY ppxyF j)|(| 连续型随机变量的条件分布 （ 1）条件分布函数   xYYXYxYX duyfyufyxFyf duyufyxF )( ),()|()( ),()|(|| 或写成， （ 2）条件概率密度 在 Y=y 条件下 X 的条件概率密度)( ),()|(| yf yxfyxf YYX  同理 X=x 条件下 X 的条件概率密度)( ),()|(| xf yxfxyf XXY  六、多维随机函数的分布 离散型随机变量函数分布： 二项分布：设 X 和 Y 独立。