控制工程基础习题及解答

控制工程基础习题及解答内容摘要：

的极限值为 3。 相应于 K=3 的频率可由辅助方程 06323 22  sKs 确定。 解之得根轨迹与虚轴的交点为 2js 。 根轨迹与虚轴交点处的频率为  方法二 令 js 代入特征方程式，可得 02)(2)(3)( 23  Kjjj  即 0)2()32( 22   jK 令上述方程中的实部和虚部分别等于零，即 032 2  K ， 02 2  所以 2 3K （ 6）确定根轨迹各分支上每一点的 K 值 根据绘制根轨迹的基本法则，当从开环极点 0 与 － 1 出发的两条根轨迹分支向右运动时，从另一极点 － 2 出发的根轨迹分支一定向左移动。 当前两条根轨迹分支和虚轴在 K=3 处相交时，可按式 3)()(  jjx 求出后一条根轨迹分支上 K=3 的点为 ο x=－ 3。 由（ 4）知，前两条根轨迹分支离开实轴时的相应根值为 － 177。 j0。 因此，后一条根轨迹 分支的相应点为 3)4 2 ()4 2 ( x 所以 ， ο x=－。 因本系统特征方程式的三个根之和为 － 2K，利用这一关系，可确定根轨迹各分支上每一点的 K 值。 现在已知根轨迹的分离点分别为 － 177。 j0 和 － ，该点的 K 值为 )1 5 ()4 2 (2 2  K 即， K=。 系统的根轨迹如图 41所示。 例 42 设控制系统的开环传递函数为 )22)(3( )2(3)()( 2   ssss sKsHsG 试绘制系统的根轨迹。 解 （ 1）系统的开环极点为 0， － 3， (－ 1＋ j)和 (－ 1－ j),它们是根轨迹上各分支的起点。 共有四条根轨迹分支。 有一条根轨迹分支终止在有限开环零点 － 2，其它三条根轨迹分支将趋向于无穷远处。 （ 2）确定根轨迹的渐近线 渐近线的倾斜角为 03 180)12()12(   KmnKa  取式中的 K=0， 1， 2， 得 φ a=π /3， π ， 5π /3，或177。 60176。 及－ 180176。 三条渐近线如图 414中的虚线所示。 渐近线与实轴的交点为 114 )2()1130(1 11      jjzpmn mi inj ja （ 3）实轴上的根轨迹位于原点与零点 － 2 之间以及极点 － 3 的左边，如图42 中的粗线所示。 从复数极点 (－ 1177。 j) 出发的两条根轨迹分支沿 177。 60176。 渐近线趋向无穷远处。 （ 4）在实轴上无根轨迹的分离点。 （ 5）确定根轨迹 与虚轴的交点 图 41 例 41 系统的根轨迹 σ ω j 系统的特征方程式为 0)2(3)22)(3( 2  sKssss 即 06)36(85 234  KsKsss 劳斯行列表 4s 1 8 K6 3s 5 K36 2s 5 )36(40 K K6 1s KKK 33415036  0 0s 6 若阵列中的 s1 行等于零，即 （ 6+3K）－ 150K/（ 343K） =0，系统临界稳定。 解之可得 K=。 相应于 K= 的频率由辅助方程   )(40 2  s 确定。 解之得根轨 迹与虚轴的交点为 s=177。 根轨迹与虚轴交点处的频率为ω =。 （ 6）确定根轨迹的出射角 根据绘制根轨迹的基本法则，自复数极点 p1=（－ 1＋ j） 出发的根轨迹的出射角为 j)(p)(pp)(p)k(θ  13212180 1111 将由图 42 中测得的各向量相角的数值代入并取 k=0，则 得到   系统的根轨迹如图 42所示。 例 43 试用根轨迹法确定下列代数方程的根 08644)( 234  sssssD 解 当代数方程的次数较高时，求根比较困难，即使利用试探法，也存在一个选择初始试探点的问题。 用根轨迹法可确定根的分布情况，从而对初始试探点作出合理的选择。 把待求代数方程视为某系统的闭环特征多项式，作等效变换得 034 )86(1 234 2   sss ssK g Kg=1 时，即为原代数方程式。 等效开环传递函数为 )1)(3( )4)(2()()( 2   sss ssKsHsG g 因为 Kg0, 先做出常规根轨迹。 系统开环有限零点 z1=－ 2， z2=－ 4；开环有限极点为 p1=p2=0， p3=－ 1， p3=－ 3。 实轴上的根轨迹区间 为 [4， 3]， [2， 1]。 根轨迹有两条渐近线，且 σ a=1， φ a=177。 90176。 作等效系统的根轨迹如图 43 所示。 S 平面 ω j σ 1 2 3 4 0 j1 j2 j3 j3 135176。 45176。 90176。 176。 图 42 例 42 系统的根轨迹 图知，待求代数方程根的初始试探点可在实轴区间 [－ 4， － 3]和 [－ 2，－ 1]内选择。 确定了实根以后，运用长除法可确定其余根。 初选 s1=－ ，检查模值 |)4)(2(| |)1)(3(|111121   ss sssK g 由于 Kg1 故应增大 s1，选 s1=－，得 Kg=。 初选 s2= － ，检查模值得Kg=，由于 Kg1，故应增大 s2，选 s2=－ ，得 Kg=。 经几次试探后，得 Kg= 时 s2=－。 设 0)())(()(  sBsssD 运用多项式的长除法得 8 1 9 )( 2  ssB 解得 3 ,3 js  例 44 已知负反馈系统的开环传递函数 )204)(4()()( 2  ssss KsHsG g 试概略绘制闭环系统的根轨迹。 解 按照基本法则依次确定根轨迹的参数： （ 1）系统无开环有限零点，开环极点有四个，分别为 0， － 4，和 － 2177。 j4。 （ 2）轴上的根轨迹区间为 [－ 4， 0]。 （ 3）根轨迹的渐近线有四条，与实轴的交点及夹角分别为 σ a=－ 2； φ a=177。 45176。 ，177。 135176。 （ 4）复数开环极点 p3,4=－ 2177。 j4 处，根轨迹的起始角为 θ =177。 90176。 （ 5）确定根轨迹的分离点。 由分离点方程 0421421411  jdjddd 解得 21 d ， 623,2 jd  因为 21 d 时， 064gK 623,2 jd  时， 0100gK S 平面 j ω σ 0 1 2 3 4 图 43 例 43 系统的根轨迹 所以， d d d3 皆为闭环系统根轨迹的分离点。 （ 6）确定根轨迹与虚轴的交点。 系统闭环特征方程为 080368)( 234  gKsssssD 列写劳斯表如下 4s 1 36 gK 3s 8 80 2s 26 gK 1s 26 82680 gK 0s Kg 当 Kg=260 时，劳斯表出现全零行。 求解辅助方程 026)( 2  gKssF 得根轨迹与虚轴的交点为 10js 。 概略绘制 系统根轨迹如图 44 所示。 图 44 例 44 系统的根轨迹 S 平面 ω σ j 第五章习题及答案 例 51 已知一控制系统结构图如图 51 所示，当输入 r(t) = 2sint 时，测得输出 c(t)=4sin(t45)，试确定系统的参数  ， n。 解 系统闭环传递函数为 2222)( nnn sss   系统幅频特性为 22222224)()( nnnj  相频特性为 222a rc ta n)(    n n 由题设条件知 c(t) = 4sin( t 45) =2 A(1) sin(t + (1)) 即 122222224)()1(  nnnA 24)1( 2222 2 nnn   1222a r c ta n)1(nn  4512a rc ta n 2n n 整理得 ]4)1[(4 22224 nnn   12 2  nn  解得 n =  = 例 52 单位反馈控制系统开环传递函数 2 1)( sassG  试确定使相位裕度  = 45的 a 值。 解 01)(lg20)(22 ccaL  c4 = a2c 2 + 1  451 8 0)a r c ta n (1 8 0 ca  ac = 1 联立求解得 4 2c a 例 53 最小相位系统对数幅频渐近特性如图 565 所示，请确定系统的传递函数。 解 由图知在低频段渐近线斜率为 0，故系统 为 0 型系统。 渐近特性为分段线性函数，在各交接频率处，渐近特性斜率发生变化。 在  = 处，斜率从 0 dB/dec 变为 20dB/dec，属于一阶微分环节。 在  = 1 处，斜率从 20 dB/dec 变为 0 dB/dec，属于惯性环节。 在  = 2 处，斜率从 0 dB/dec 变为 20 dB/dec，属于惯性环节。 在  = 3 处，斜率从 20 dB/dec 变为 40 dB/dec，属于惯性环节。 在  = 4 处，斜率从 40 dB/dec 变为 60 dB/dec，属于惯性环节。 因此系统的传递函 数具有下述形式 )1/)(1/)(1/)(1/( )(( 4321    ssss sKsG ） 式中 K， 1， 2， 3， 4 待定。 由 20lgK = 30 得 K =。 确定 1： 304020 1   所以 1 = 确定 2： 4lg100lg0560  所以 2 = 确定 3： 34 lglg20540   所以 3 = 确定 4： 23 lglg402020   所以 4 = 于是，所求的传递函数为 ))()()(( )((   ssss ssG ） 例 54 某最小相位系统的开环对数幅频特性如。