总结求矩阵的逆矩阵方法

总结求矩阵的逆矩阵方法内容摘要：

的两端对应元素，得到 21 11 1 2 0 1 0 02X       ；解得，21 12X ； 31 32 10 2 2 0 03XX      ；解得，32 16X ； 41 42 43 10 0 3 04X X X      。 解得，43 112X ； 31 32 21 1 1 0 03XX      ；解得，31 12X ； 41 42 43 20 2 1 04X X X      ；解得，42 54X ； 41 42 43 11 1 2 04X X X      ；解得，43 18X 。 于是，所求的逆矩阵为： 411215481031612100212100011A 三角矩阵的一种求逆法 定理 ：如果 n 阶矩阵 T ，  nnnnnnttttttttT0000 212221111211可逆， 那么它的逆矩阵是 12122121121221111111111211211110000nnnnnnnntatattatatattT 其中 )1,2,1(11111   nitta iiiiii  ),4,3。 2,2,1(11 njnittatta jki kkikkjjjjjii     利用此定理可以求出其它各种类型三角矩阵的逆矩阵。 例 1：求上三角矩阵2020210022104131A 的逆矩阵 解：根据上定理可求得 31212212   tta 22313323   tta 512212231313313   ttatta 13414434   tta 113323241414424   ttatta   4133133412212241414414   ttattatta 因此， 210001100121045311A 如果 A 是下三角矩阵，则 TA 为上三角矩阵。 根据逆矩阵的性质：    TT AA 11   ，再根据上定理可求三角矩阵 A 的逆矩阵。 例 2 用恒等变形法求逆矩阵 有些计算命题表面上与求逆矩阵无关，但实质上只有通过求逆矩阵才能算出来，而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变形，而且变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式。 例 1 已知 EA6 试求 11A 并证明 111 AA  ， 其中21232321A 解：由 EA6 得到 EAAAAAEA  116666 故 111 AA  ， 而 A 又为正交矩阵， TAA 1 （其中 TA 为 A 的转置矩阵） 从而  21232321111 AA 同 时用行列变换求矩阵逆的方法 定理 如果用有限次行、列初等变换可将矩阵 A 化成单位矩阵 E ，且设用其中的行初等变换将单位矩阵 E 正化为 C ，用其中的列初等变换将单位矩阵 E 正化为 B ，那么BCA 1 证明：设 A 是一个 n 级可逆矩阵则 1221 PPPQA ks  1 其中  siQi ,2,1  ，  kjPj ,2,1  都是 n 级初等矩阵。 由此即得 EPPAPQ ks  1121111121  2 E 是 n 级单位矩阵，又写成 EPPPEQA ks 1221  3 那么   112211   EPPPEQA ks    EQPPEP sk 1112111211   4 比较 2 式和 4 式，并记 11211  kPPEPB ， EQC s 11121   即得 BCA 1。 具体求法用分块矩阵表示就是： 若   0E0 B CE EA 经过初等行列变换，则 BCA 1。 当 EB 或 EC 时，即第二种方法，因此这种求逆矩阵的方法是第二种方法式。 例 1： 设012411210A ，求 1A。 解： 由以上定理我们构造矩阵 。