高考数学概念方法题型易误点技巧总结下

高考数学概念方法题型易误点技巧总结下内容摘要：

） 在 ABC 中，给出  12AD AB AC,等于已知 AD 是 ABC 中 BC 边的中线。 高考数学概念方法题型易误点技巧总结（九） 直线、平面、简单多面体 三个公理和三条推论 ： （ 1） 公理 1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 这是 判断直线在平面内的常用方法。 （ 2） 公理 如果两个平面有两个公共点 ，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上。 这是 判断几点共线 （证这几点是两个平面的公共点）和 三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一。 （ 3） 公理 3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。 推论 1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面。 推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面。 推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面。 公理 3 和三个推论是 确定平面的依据。 如（ 1） 在空间四点中，三点共线是四点共面的 _____条件（答：充分非必要）； （ 2） 给出命题：①若 A∈ l， A∈α， B∈ l ， B∈α，则 l  α；②若 A∈α， A∈β， B∈α， B∈β，则α∩β＝ AB；③若 l α ， A∈ l，则 Aα ④若 A、 B、 C∈α， A、 B、 C∈β，且 A、 B、 C 不共线，则α与β重合。 上述命题中，真命题是 _____（答： ①②④ ）； （ 3） 长方体中 ABCDA1 B1C1D1中， AB=8， BC=6，在线段 BD， A1C1 上各有一点 P、 Q，在 PQ 上有一点 M，且 PM=MQ，则 M 点的轨迹图形的面积为 _______（答 ： 24） 直观图的画法（斜二侧画法规则） ：在画直观图时，要注意：（ 1）使 0135x o y  ，xoy 所确定的平面表示水平平面。 （ 2）已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段，在直观图中保持长度和平行性不变， 平行于 y 轴的线段平行性不变，但在直观图中其长度为原来的一半。 如（ 1） 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形更多内容尽在 更多内容尽在 的形状是（ ）（答： A） （ 2） 已知正 ABC 的边长为 a ，那么 ABC 的平面直观图 ABC   的面积为 _____（答：2616a ） 空间直线的位置关系 ：（ 1）相交直线――有且只有一个公共点。 （ 2）平行直线――在同一平面内，没有公共点。 （ 3）异面直线――不在同一平面内，也没有公共点。 如（ 1）空间四边形 ABCD 中， E、 F、 G、 H 分别是四边上的中点，则直线 EG 和 FH 的位置关系 _____（答：相交）； （ 2） 给出下列 四个命题： ① 异面直线是指空间既不平行又不相交的直线； ②两异面直线 ba, ，如果 a 平行于平面  ，那么 b 不平行平面  ； ③ 两异面直线 ba, ，如果 a平面  ，那么 b 不垂直于平面  ； ④ 两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线。 其中正确的命题是 _____（答： ①③ ） 异面直线的判定 ：反证法。 如（ 1） “ａ、ｂ为异面直线”是指：①ａ∩ｂ＝Φ，但ａ不平行于ｂ；②ａ  面 α，ｂ  面 β 且 a∩ b＝Φ；③ａ  面 α，ｂ  面 β 且 α∩β＝Φ；④ａ  面 α， b 面 α ；⑤不存在平面α，能使ａ  面 α且ｂ  面α成立。 上述结论中，正确的是 _____（答：①⑤）； （ 2） 在空间四边形 ABCD 中， M、 N 分别是 AB、 CD 的中点，设 BC+AD=2a，则 MN 与 a 的大小关系是 _____（答： MNa）； （ 3） 若 E、 F、 G、 H顺次为空间四边形 ABCD 四条边 AB、 BC、 CD、 DA的中点，且 EG=3， FH=4，则 AC2+BD2= _____（答： 50）； （ 4） 如果ａ、ｂ是异面直 线， P 是不在ａ、ｂ上的任意一点，下列四个结论：①过点 P 一定可以作直线 l 与ａ、ｂ都相交； ②过点 P 一定可以作直线 l 与ａ、ｂ都垂直；③过点 P 一定可以作平面α与ａ、ｂ都平行； ④过点 P 一定可以作直线 l 与ａ、ｂ都平行。 其中正确的结论是 _____（答：②）； （ 5） 如果两条异面直线称作一对，那么正方体的十二条棱中异面直线的对数为 _____ （答： 24 ）； （ 6 ） 已知平面,//, accAabba 且平面   求 证： b、 c 是异面直线． 异面直线所成角  的求法 ：（ 1） 范围 ： (0, ]2 ；（ 2） 求法 ：计算异面直线所成角的关键是 平移 （ 中点平移，顶点平移以及 补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。 如（ 1） 正四棱锥 ABCDP 的所有棱长相等， E 是 PC 的中点，那么异面直线BE 与 PA 所成的角的余弦值等于 ____（答： 33 ）； （ 2） 在正方体 AC1 中， M 是侧棱 DD1的中点， O 是底面 ABCD 的中心， P 是棱 A1 B1 上的一点，则 OP 与 AM 所成的角的大小为____（答： 90176。 ）； （ 3） 已知异面直线 a、 b 所成的角为 50176。 ， P 为空间一点，则过 P 且与 a、b 所成的角都是 30176。 的直线有且仅有 ____条（答： 2）； （ 4） 若异面直线 ,ab所成的角为3，更多内容尽在 更多内容尽在 FD CBAED 1 C 1B 1A1且直线 ca ，则异面直线 ,bc所成角的范围是 ____（答： [ , ]62）； 异面直线的距离的概念 ：和两条异面直线 都垂直相交 的直线叫异面直线的公垂线。 两条异面直线的公垂线有且只有一条。 而和两条异面直线都垂直的直线有无数条，因为空间中，垂直不一定相交。 如（ 1） ABCD 是矩形，沿对角线 AC 把Δ ADC 折起，使 AD⊥ BC，求证： BD 是异面直线 AD与 BC 的公垂线； （ 2） 如图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中， EF 是异面直线 AC与 A1D 的公垂线，则由正方体的八个顶点所连接的直线中，与 EF 平行的直线有 ____条（答： 1）； 两直线平行的判定 ：（ 1） 公理 4：平行于同一直线的两直线互相平行；（ 2） 线面平行的性质 ：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；（ 3） 面面平行的性质 ：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；（ 4） 线面垂直的性质 ：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。 两直线垂直的判定 ：（ 1）转化为证线面垂直；（ 2）三垂线定理及逆定理。 直 线与平面的位置关系 ：（ 1）直线在平面内；（ 2）直线与平面相交。 其中，如果一条直线和平面内 任何一条 直线都垂直，那么这条 直线和这个平面垂直。 注意 ：任一条直线并不等同于无数条直线；（ 3）直线与平面平行。 其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。 如（ 1） 下列命题中，正确的是 Ａ、若直线 a 平行于平面  内的一条直线 b , 则 a //  Ｂ、若直线 a 垂直于平面  的斜线 b 在平面  内的射影，则 a ⊥ b Ｃ、若直线 a 垂直于平面  ,直线 b 是平面  的斜线，则 a 与 b 是异面直线 Ｄ、若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等，且所有侧面与底面所成的角也相等，则它一定是正棱锥（答： D）； （ 2） 正方体 ABCDA1 B1C1D1 中，点 P 在侧面 BCC1 B1 及其边界上运动，并且总保持 AP⊥ BD1，则动点 P 的轨迹是 ___________（答：线段 B1C）。 直线与平面平行的判定和性质 ：（ 1） 判定 ： ① 判定定理 ： 如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行； ② 面面平行的性质 ：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。 （ 2） 性质 ：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行。 在遇到线面平行时，常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面，以便运用线 面平行的性质。 如（ 1） α、β表示平面， a、 b 表示直线，则 a∥α的一个充分不必要条件是 A、α⊥β， a⊥β B、α∩β＝ b，且 a∥ b C、 a∥ b 且 b∥α D、α∥β且 a β（答： D）； （ 2） 正方体 ABCDA１ B１ C１ D１ 中，点 N 在 BD 上，点 M 在 B1C 上，且 CM=DN，求证： MN∥面 AA1 B1 B。 1直线和平面垂直的判定和性质 ：（ 1） 判定 ： ①如果一条直线和 一个平面内的 两条相交 直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。 ② 两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么 另一条直线也和这个平面垂直。 （ 2） 性质 ： ① 如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。 ② 如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。 如（ 1） 如果命题“若 yyx , ∥ z，则 zx ”不成立，那么字母 x、 y、 z 在空间所表示的几何图形一定是 _____（答： x、 y 是直线， z 是平面）； （ 2） 已知 a， b， c 是直线，α、β是平面，下列条件中能得出直线 a⊥平面α的是 A、 a⊥ b，ａ⊥ｃ其中ｂ  α，ｃ  α B、 a⊥ b ，ｂ∥α C、α⊥β，ａ∥β D、ａ∥ｂ，ｂ⊥α（答： D）； （ 3） AB 为⊙ O的直径， C 为⊙ O 上的一点， AD⊥面 ABC， AE⊥ BD 于 E， AF⊥ CD 于 F，求证： BD⊥平面 AEF。 1三垂线定理及逆定理 ：（ 1） 定理 ：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一更多内容尽在 更多内容尽在 条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 （ 2） 逆定理 ：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。 其作用是证两直线异面垂直和作二面角的平面角。 1直线和平面所成的角 ：（ 1） 定义 ：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。 （ 2） 范围 ： [0,90] ；（ 3） 求法 ： 作出直线在平面上的射影；（ 4）斜线与平面所成的角的 特征 ：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。 如（ 1）在正三棱柱 ABCA1 B1C1 中，已知 AB=1， D 在棱 BB1 上， BD=1，则 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 ______（答： arcsin 46 ）； （ 2） 正方体 ABCDA1 B1C1D1 中， E、 F 分别是 AB、 C1D1的中点，则棱 A1 B1 与截面 A1ECF 所成的角的余弦值是 ______（答： 13）； （ 3） PCPBPA ,是从点 P 引出的三条射线，每两条的夹角都是 60 ，则直线 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值为 ______（答： 33 ）； （ 4） 若一平面与正方体的十二条棱所在直线都成相等的角 θ，则sinθ的值为 ______（答： 33 ）。 1平面与平面的位置关系 ：（ 1）平行――没有公共点；（ 2）相交――有一条公共直线。 1两个平面平行的判定和性质 ：（ 1） 判定 ：一个如果平面内有 两条相交 直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。 （ 2） 性质 ：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 如（ 1） , 是两个不重合的平面，在下列条件中，不能判定平面 //的条件是 A、 nm, 是  内一个三角形的两条边，且  //,// nm B、  内有不共线的三点到  的距离都相等 C、 , 都垂直于同一条直线 a D、 nm, 是两条异面直线，  nm , ，且  //,// nm （答： B）； （ 2） 给出以下六个命题：①垂直于同一直线的两个平面平行；②平行于同一直线的两个平面平行；③平行于同一平面的两个平面平行；④与同一直线成等角的两个平面平行；⑤一个平面内的两条相交直线于另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行；⑥两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行。 其中正确的序号是 ___________（答： ①③⑤ ）； （ 3） 正方体 ABCDA１B１ C１ D１ 中 AB= a。 ①求证：平面 AD1 B1∥平面 C1DB；②求证： A1C⊥平面 AD1 B1 ；③求平面 AD1B1 与平面 C1DB 间的距离（答： 33a ）； 1二面角 ：（ 1） 平面角的三要素 ：①顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内；③角的两边与棱都垂直。 （ 2） 作平面角的主要方法 ： ① 定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； ② 三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出更多内容尽在 更多。