高考数学概念方法题型易误点技巧总结上

高考数学概念方法题型易误点技巧总结上内容摘要：

（ 1）具有奇偶性的函数的 定义域的特征： 定义域必须关于原点对称。 为此 确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。 如 若函数 )(xf 2sin(3 )x ， [2 5 , 3 ]x    为奇函数，其中 )2,0(  ，则  的值是 （ 答： 0）； （ 2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）： ① 定义法： 如 判断函数2| 4 | 49xy x  的奇偶性 ____（答：奇函数）。 ② 利用 函数奇偶性定义的等价形式： ( ) ( ) 0f x f x  或 ()1()fxfx （ ( ) 0fx ）。 如判断 11( ) ( )2 1 2xf x x的奇偶性 ___.（ 答： 偶函数） ③ 图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y 轴对称。 （ 3）函数奇偶性的性质： ① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反 . ② 如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数 . ③ 若 ()fx为 偶函数，则 ( ) ( ) (| |)f x f x f x  .如 若定义在 R 上的偶函数 ()fx 在( ,0) 上是减函数，且 )31(f =2，则不等式 2)(log81 xf的解集为 ______.（答：(0, ) (2, )） ④ 若奇函数 ()fx定义域中含有 0，则必有 (0) 0f  .故 (0) 0f  是 ()fx为奇函数的既不充分也不必要条件。 如 若 22() 21xxaafx  为奇函数，则 实数 a ＝ ____（ 答： 1） . ⑤ 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。 如 设 )(xf 是定义域为 R 的任一函数， ( ) ( )() 2f x f xFx  ， 8 ( ) ( )() 2f x f xGx 。 ①判断 )(xF 与 )(xG 的奇偶性； ②若将函数 )110lg()(  xxf ，表示成一个奇函数 )(xg 和一个偶函数 )(xh 之和，则 )(xg ＝ ____（ 答： ① )(xF 为偶函数，)(xG 为奇函数；② )(xg ＝ 12x ） ⑥ 复合函数的奇偶性特点是：“ 内偶则偶，内奇同外 ” . ⑦ 既奇又偶函数有无穷多个（ ( ) 0fx ，定义域是关于原点对称的任意一个数集） .。 （ 1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法： ① 在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间 (, )ab内，若总有 ( ) 0fx  ，则 ()fx为增函数；反之，若 ()fx在区间 (, )ab 内为增函数，则( ) 0fx  ，请 注意两者的区别 所在。 如 已知函数 3()f x x ax在区间 [1, ) 上是增函数，则 a 的取值范围是 ____(答： (0,3] ） )； ② 在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等， 特别要注意 (0by ax ax   0)b 型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为 ( , ],[ , )bbaa  ，减区间为[ , 0), (0, ]bbaa .如（ 1） 若函数 2)1(2)( 2  xaxxf 在区间（－∞， 4] 上是减函数，那么实数 a 的取值范围是 ______(答： 3a ） )； （ 2） 已知函数 1() 2axfx x   在区间  2,  上为增函数，则实数 a 的取值范围 _____（答： 1( , )2 ）； （ 3） 若函数   l og 4 0 , 1a af x x a ax     且的值域为 R，则实数 a 的取值范围是 ______(答：04a 且 1a ） )； ③ 复合函数法：复合函数单调性的特点是 同增异减 ， 如 函数  212log 2y x x  的单调递增区间是 ________(答：（ 1,2） )。 （ 2） 特别提醒： 求单调区间时，一是勿忘定义域， 如 若函数 2( ) log ( 3 )af x x ax  在区间 ( , ]2a 上为减函数，求 a 的取值范围（答： (1,2 3) ）；二是 在多个单调区间之间不一定能添加符号 “ ” 和 “ 或 ” ；三是单调区间应该用区间表示，不能用 集合或不等式 表示． （ 3）你注意到函数 单调性与奇偶性的逆用 了吗 ?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围 ） .如 已知奇函数 )(xf 是定义在 )2,2( 上的减函数 ,若 0)12()1(  mfmf ，求实数 m 的取值范围。 （答： 1223m   ） 11. 常见的图象变换 ① 函数  axfy  )0( a 的图象是把函数  xfy 的图象沿 x 轴向左平移 a 个单位得到的。 如 设 ( ) 2 , ( )xf x g x 的图像与 ()fx的图像关于直线 yx 对称， ()hx 的图像由 ()gx的图像向右平移 1 个单位得到，则 ()hx 为 __________(答： 2( ) log ( 1)h x x  ) ② 函数  axfy  ( )0( a 的图象是把函数  xfy 的图象沿 x 轴向右平移 a 个单位得到的。 如（ 1） 若 2( 1 9 9 ) 4 4 3f x x x   ， 则函数 ()fx的最小值为 ____(答： 2)； （ 2） 9 要得到 )3lg( xy  的图像，只需作 xy lg 关于 _____轴对称的图像，再向 ____平移 3 个单位而得到 (答： y ；右 )； （ 3） 函数 ( ) lg ( 2 ) 1f x x x   的图象与 x 轴的交点个数有 ____个 (答： 2) ③函数  xfy + a )0( a 的图象是把 函数  xfy 助图象沿 y 轴向上平移 a 个单位得到的； ④ 函数  xfy +a )0( a 的图象是把函数  xfy 助图象沿 y 轴向下平移 a 个单位得到的； 如 将函数 aax by 的图象向右平移 2 个单位后又向下平移 2 个单位 ,所得图象如果与原图象关于直线 xy 对称 ,那么 0,1)(  baA RbaB  ,1)( 0,1)(  baC RbaD  ,0)( (答： C) ⑤ 函数  axfy )0( a 的图象是把函数  xfy 的图象沿 x 轴伸缩为原来的a1得到的。 如（ 1） 将函数 ()y f x 的图像上所有点的横坐标变为原来的 13（纵坐标不变），再将此图像沿 x 轴方向向左平移 2 个单位，所得图像对应的函数为 _____(答： (3 6)fx )；（ 2）如若 函数 (2 1)y f x是偶函数，则函数 (2 )y f x 的对称轴方程是 _______(答： 12x )． ⑥ 函数  xafy )0( a 的图象是把函数  xfy 的图象沿 y 轴伸缩为原来的 a 倍得到的 . 12. 函数的对称性。 ① 满足条件    f x a f b x  的函数的图象关于直线 2abx  对称。 如 已知二次函数 )0()( 2  abxaxxf 满足条件 )3()5(  xfxf 且方程 xxf )( 有等根， 则 )(xf＝ _____(答： 212xx)； ② 点 (, )xy 关于 y 轴的对称点为 ( , )xy ；函数  xfy 关于 y 轴的对称曲线方程为 xfy  ； ③ 点 (, )xy 关于 x 轴的对称点 为 ( , )xy ；函数  xfy 关于 x 轴的对称曲线方程为 xfy  ； ④ 点 (, )xy 关于原点的对称点为 ( , )xy ；函数  xfy 关于原点的对称曲线方程为 xfy  ； ⑤ 点 (, )xy 关于直线 y x a  的对称点为 ( ( ), )y a x a   ；曲线 ( , ) 0f x y  关于直线 y x a  的对称曲线的方程为 ( ( ), ) 0f y a x a    。 特别地，点 (, )xy 关于直线yx 的对称点为 (, )yx ；曲线 ( , ) 0f x y  关于直线 yx 的对称曲线的方程为 ( , )f yx 0 ；点 ( , )xy 关于直线 yx 的对称点为 ( , )yx ；曲线 ( , ) 0f x y  关于直线 yx 的对称曲线的方程为 ( , ) 0f y x  。 如 己知函数 33( ) , ( )2 3 2xf x xx ,若 )1(  xfy 的图像是 1C ,它关于直线 yx 对称图像是 22,CC 关于原点对称的图像为 33, CC 则 对应的 函数解析式是 ___________（答： 221xy x  ）； ⑥ 曲线 ( , ) 0f x y  关于点 (, )ab 的对称曲线的方程为 (2 , 2 ) 0f a x b y  。 如 若函数xxy  2 与 )(xgy 的图象关于点（ 2， 3）对称，则 )(xg ＝ ______（答： 2 76xx   ） 10 ⑦ 形如 ( 0 , )a x by c a d b cc x d   的图像是双曲线，其两渐近线分别直线 dx c (由分母为零确定 )和直线 ay c (由分子、分母中 x 的系数确定 )，对称中心是点 ( , )dacc。 如 已知函数图象 C 与 2: ( 1 ) 1C y x a a x a    关于直线 yx 对称，且图象 C 关于点（ 2，－ 3）对称，则 a 的值为 ______（答： 2） ⑧ | ( )|fx 的图象先保留 ()fx原来在 x 轴上方的图象，作出 x 轴下方的图象关于 x 轴的对称图形，然后擦去 x 轴下方的图象得到； (| |)fx的图象先保留 ()fx在 y 轴右方的图象，擦去 y 轴左方的图象，然后作出 y 轴右方的图象关于 y 轴的对称图形得到。 如（ 1） 作出函数 2| log ( 1) |yx及 2log | 1|yx的图象； （ 2） 若函数 )(xf 是定义在 R 上的奇函数，则函数 )()()( xfxfxF  的图象关于 ____对称 （答： y 轴 ） 提醒 ：（ 1）从结论 ②③④⑤⑥ 可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（ 2）证明函数图像的对称性，即 证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（ 3）证明图像 1C 与 2C 的对称性， 需证两方面 ： ① 证明 1C 上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在 2C 上； ② 证明 2C 上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在 1C 上。 如（ 1） 已知函数 )(1)( Raxa axxf  。 求证：函数 )(xf的图像关于点 ( , 1)Ma 成中心对称图形； （ 2） 设曲线 C 的方程是 xxy  3 ,将 C 沿 x 轴 , y 轴正方向分别平行移动 ,ts单位长度后得曲线 1C。 ① 写出曲线 1C 的方程 （答：3( ) ( )y x t x t s    ） ； ② 证明曲线 C 与 1C 关于点  2,2 stA 对称。 13. 函数的周期性。 （ 1） 类比“三角函数图像”得 ： ① 若 ()y f x 图像有两条对称轴 , ( )x a x b a b  ，则 ()y f x 必是周期函数，且一周期为 2| |T a b； ② 若 ()y f x 图像有两个对称中心 ( , 0 ), ( , 0 )( )A a B b a b，则 ()y f x 是周期函数，且一周期为 2| |T a b； ③ 如果函数 ()y f x 的图像有一个对称中心 ( ,0)Aa 和一条对称轴 ()x b a b，则函数()y f x 必是周期函数，且一周期为 4| |T a b； 如 已知定义在 R 上的函数 ()fx是以 2 为周期的奇函数，则方程 ( ) 0fx 在 [ 2,2] 上至少有 __________个 实数根 （答： 5） （ 2） 由周期函数的定义 “函数 ()fx满足    xafxf  ( 0)a ，则 ()fx是周期为 a的周期函数” 得 ： ① 函数 ()fx满足    xafxf  ，则 ()fx是 周期为 2a 的周期函数； ② 若 1( ) ( 0)()f x a afx  恒成立，则 2Ta ； ③ 若 1( ) ( 0)()f x a afx   恒成立，则 2Ta . 如 (1) 设 )(xf 是 ),(  上的奇函数， )()2( xfxf  ，当。