高数极限与数列公式定理总结大全

高数极限与数列公式定理总结大全内容摘要：

（八） 连续函数在闭区间上的性质 (重点记忆内容 ) 1．有界性定理： 设函数 fx在  ,ab 上连续 ,则 fx在  ,ab 上有界 ,即  常数 0M ,对任意的 ,x ab ,恒有  f x M ． 2．最大最小值定理： 设函数 fx在  ,ab 上连续 ,则在  ,ab 上 fx至少取得最大值与最小值各一次 ,即 , 使得：       m a x , ,a x bf f x a b。       m i n , ,a x bf f x a b. 3．介值定理： 若函数 fx在  ,ab 上连续 , 是介于 fa与 fb (或最大值 M 与最小值 m )之 间的任一实数 ,则在  ,ab 上至少  一个  ,使得    .f a b    ． 4．零点定理： 设函数 fx在  ,ab 上连续 ,且     0f a f b,则在  ,ab 内 至少  一个  ,使得新东方在线 [ ] 2020年考研 全科全程辅导 5     a b   （九） 连续函数有关定理 1．连续函数的四则运算： 连续函数的和、差、积、商 (分母在连续点处的数值不为零 )仍为连续函数 ． 2．反函数的连续性： 单值、单调增加 (减少 )的连续函数 ,其反函数在对应区间上也单值、单调增加 (减少 )且连续 ． 3．复合函数的连续性：  ux 在点 0x 连续 ,  00xu  ,而函数  y f u 在点 0u 连续 ,则复合函数 y f x 在点 0x 连续 ． 4．初等函数的连续性： 一切初等函数在其定义区间内是连续函数 ． （十） 间断点的定义及分类 1．定义： 若在 0xx 处 , 0limxxfx不存在 ,或  0fx无定义 ,或    0 0limxxf x f x ,则称 fx在 0xx 处间断 , 0xx 称为 fx的间断点 ． 2．间断点的分类 间断点的类型 条件 例子 第一类间断点 可去型间断点      0 0 000f x f x f x    0x 是   sinxfx x 的可去型间断点 跳跃型间断点    0000f x f x   0x 是   1arctanfx x 的跳跃型间断点 第二类间断点 无穷型间断点    000 , 0f x f x之一是无穷大 0x 是   1fxx 的无穷型间断点 振荡型间断点    000 , 0f x f x之一不存在且不是无穷大 0x 是   1sinfx x 的振荡型间断点 一、函数、极限、连续 （一） 数列极限的定义与收敛数列的性质 数列极限的定义： 给定数列 nx ,如果存在常数 A ,对任 给 0 ,存在正整数 N ,使当 nN 时 ,恒有nxA ,则称 A 是数列 nx 的当 n 趋于无穷时的极限 ,或称数列 nx 收敛于 A ,记为 limnn xA  .若nx 的极限不存在 ,则称数列 nx 发散 . 收敛数列的性质： (1)唯一性： 若数列 nx 收敛 ,即 limnn xA ,则极限是唯一的 ． 新东方在线 [ ] 2020年考研 全科全程辅导 6 (2)有界性： 若 limnn xA ,则数列 nx 有界 ,即存在 0M ,使得对 n 均有 nxM . (3)局部保号性： 设 limnn xA ,且  00AA或 ,则存在正整数 N ,当 nN 时 ,有  00nnxx或 . (4)若数列收敛于 A ,则它的任何子列也收敛于极限 A . （二） 函数极限的定义 名称 表达式 任给 存在 当 …时 恒有 当0xx时 , fx以A为极限  0limxxf x A  0 0 00 xx    f x A  当 x时 , fx 以A为极限  limx f x A  0 0X xX  f x A  当 0 0xx时 , fx以 A为右极限   00lim0xxf x Adef f x   0 0 00x x x     f x A  当 0 0xx时 , fx以 A为左极限   00lim0xxf x Adef f x   0 0 00x x x    f x A  当 x 时 , fx以 A为极限   limx f x Adeff    0 0X xX  f x A  当 x 时 , fx以A为极限   limx f x Adeff    0 0X xX  f x A  （三）。