高中数学知识点强大总结

高中数学知识点强大总结内容摘要：

4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。 sin α cos α 2 = 1， tan( α − β ) = − ，求 tan (β − 2α )的值。 1 − cos 2 α 3 sin α cos α cos α 1 （由已知得： = = 1， ∴ tan α = 2 2 sin α 2 sin α 2 2 又 tan (β − α) = 3 如：已知 2 1 − tan (β − α) − tan α 3 2 = 1） ∴ tan (β − 2α ) = tan[ (β − α) − α ] = = 1 + tan(β − α ) tan α 1 + 2 1 8 3 2 中国教育开发网 . . 中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉 中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉 32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗。 如何实现边、角转化，而解斜三 角形。 余弦定理： a 2 = b 2 + c 2 − 2 bc cos A ⇒ cos A = b 2 + c2 − a2 2 bc （应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。 ） ⎧a = 2 R sin A a b c ⎪ 正弦定理： = = = 2 R ⇔ ⎨ b = 2 R sin B sin A sin B sin C ⎪c = 2 R sin C ⎩ S∆ = 1 ab sin C 2 ∵ A + B + C = π ， ∴ A + B = π − C ∴ sin ( A + B) = sin C， sin 如 ∆ABC 中， 2 sin 2 A+ B C = cos 2 2 A+B + cos 2 C = 1 2 （ 1）求角 C ； （ 2 ）若 a 2 = b 2 + c2 ，求 cos 2A − cos 2 B 的值。 2 （（ 1）由已知式得： 1 − cos (A + B) + 2 cos 2 C − 1 = 1 又 A + B = π − C ， ∴ 2 cos 2 C + cos C − 1 = 0 1 或 cos C = − 1（舍） 2 π 又 0 C π， ∴ C = 3 1 （ 2 ）由正弦定理及 a 2 = b 2 + c 2 得： 2 π 3 2 sin 2 A − 2 sin 2 B = sin 2 C = sin 2 = 3 4 3 1 − cos 2 A − 1 + cos 2 B = 4 3 ∴ cos 2 A − cos 2 B = − ） 4 ∴ cos C = . . 33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。 ⎡ π π⎤ 反正弦： arcsin x ∈ ⎢ − ， ⎥ ， x ∈ [− 1， 1] 2⎦ ⎣ 2 反余弦： arccos x ∈ [0 ， π ]， x ∈ [ −1， 1] 中国教育开发网 . . 中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉 中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉 π⎞ ⎛ π 反正切： arctan x ∈ ⎜ − ， ⎟ ， ( x ∈ R ) ⎝ 2 2⎠ 34. 不等式的性质有哪些。 （ 1） a b ， c 0 ⇒ ac bc c 0 ⇒ ac bc （ 2 ） a b ， c d ⇒ a + c b + d （ 3 ） a b 0 ， c d 0 ⇒ ac bd （ 4 ） a b 0 ⇒ 1 1 1 1 ，a b 0 ⇒ a b a b n （ 5） a b 0 ⇒ a n b n ， n a b （ 6 ） | x | a (a 0 ) ⇔ − a x a， | x| a ⇔ x − a 或 x a 如：若 1 1 0 ，则下列结论不正确的 是（ a b B. ab b 2 D. a b + 2 b a ） A. a 2 b 2 C. | a |+ | b| | a + b| 答案： C 35. 利用均值不等式： a + b ≥ 2 ab a， b ∈ R 2 . . 2 ( + ) a + b⎞ ； a + b ≥ 2 ab ； ab ≤ ⎛ ⎜ ⎟ 求最值时，你是否注 ⎝ 2 ⎠ 2 意到 “a， b ∈ R + ”且 “等号成立 ”时的条件，积 ( ab) 或和 ( a + b) 其中之一为定 值。 （一正、二定、三相等） 注意如下结论： a2 + b 2 a+b 2 ab ≥ ≥ ab ≥ a， b ∈ R + 2 2 a+b ( ) 当且仅当 a = b 时等号 成立。 a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca ( a， b ∈ R ) 当且仅当 a = b = c 时取等号。 a b 0 ， m 0 ， n 0 ，则 b b+m a+n a 1 a a+ m b+n b 中国教育开发网 . . 中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉 中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉 如：若 x 0 ， 2 − 3 x− 4 的最大值为 x 4⎞ ⎛ （设 y = 2 − ⎜ 3 x + ⎟ ≤ 2 − 2 12 = 2 − 4 3 ⎝ x⎠ 当且仅当 3x = 4 2 3 ，又 x 0 ， ∴ x = 时， y max = 2 − 4 3 ） x 3 又如： x + 2 y = 1，则 2 x + 4 y 的最小值为 （ ∵ 2 x + 2 2 y ≥ 2 2 x +2 y = 2 2 1 ， ∴ 最小值为 2 2 ） 36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗。 （比较法、分析法、综合法、数学归纳法等） 并注意简单放缩法的应用。 如：证明 1 + （ 1 + 1 1 1 2 2 + 2 + … + 2 3 n2 1 1 1 1 1 1 + 2 + …… + 2 1 + + + …… + 2 2 3 n 1 2 2 3 (n − 1)n = 1+1− =2− 1 1 1 1 1 + − + …… + − 2 2 3 n −1 n 1 2） n f ( x) a ( a ≠ 0)的一般步骤是什么。 g( x ) 37. 解分式不等式 （移项通分，分子分母因式分解， x 的系数变为 1，穿轴法解得结果。 ） . . 38. 用 “穿轴法 ”解高次不等式 ——“奇穿，偶切 ”，从最大根的右上方开始 如： ( x + 1)( x − 1) ( x − 2 ) 0 39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论 2 3 如：对数或指数的底分 a 1 或 0 a 1 讨论 40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解。 （找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。 ） 例如：解不等式 | x − 3|− x + 1 1 中国教育开发网 . . 中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉 中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉 1⎫ ⎧ （解集为 ⎨ x| x ⎬ ） 2⎭ ⎩ 41. 会用不等 式 | a|− | b| ≤| a 177。 b| ≤ | a|+ | b | 证明较简单的不等问题 如：设 f ( x ) = x 2 − x + 13 ，实数 a满足 | x − a| 1 求证： f ( x ) − f ( a ) 2(| a|+ 1) 2 2 证明： | f ( x ) − f ( a)| = |( x − x + 13 ) − ( a − a + 13 )| = |( x − a )( x + a − 1)| (∵ | x − a| 1) = | x − a|| x + a − 1| | x + a − 1| ≤| x |+ | a|+ 1 又 | x |− | a| ≤ | x − a| 1， ∴ | x | | a |+ 1 ∴ f ( x) − f ( a ) 2| a|+ 2 = 2(| a|+ 1) （按不等号方向放缩） 42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么。 （可转化为最值问题，或 “△ ”问题） 如： a f ( x ) 恒成立 ⇔ a f ( x ) 的最小值 a f ( x ) 恒成立 ⇔ a f ( x ) 的最大值 a f ( x ) 能成立 ⇔ a f ( x ) 的最小值 例如：对于一切实数 x ，若 x − 3 + x + 2 a恒成立，则 a的取值范围是 （设 u = x − 3 + x + 2 ，它表示数轴上到两定 点 − 2 和 3 距离之和 u m in = 3 − (− 2 ) = 5 ， ∴ 5 a，即 a 5 或者： x − 3 + x + 2 ≥ ( x − 3) − ( x + 2 ) = 5， ∴ a 5） 43. 等差数列的定义与性质 定义： a n +1 − a n = d ( d 为常数 ) ， a n = a 1 + ( n − 1)d 等差中项： x ， A， y 成等差数列 ⇔ 2 A = x + y 前 n 项和 S n = . . (a 1 + a n ) n = na 2 1 + n( n − 1) d 2 性质： { a n } 是等差数列 复习方法指导〈数学复习版〉 （ 1）若 m + n = p + q，则 a m + a n = a p + a q ； （ 2 ）数列 {a 2 n −1 } ， {a 2 n } ， {ka n + b } 仍为等差数列； S n ， S 2 n − S n ， S 3 n − S 2 n …… 仍为等差数列； （ 3 ）若三个数成等差数列 ，可设为 a − d ， a， a + d ； （ 4 ）若 a n ， b n 是等差数列 S n ， Tn 为前 n 项和，则 a m S 2 m −1 = ； b m T 2 m −1 （ 5） {a n } 为等差数列 ⇔ S n = an 2 + bn（ a ， b 为常数，是关于 n的常数项为 0 的二次函数） S n 的最值可求二次函数 S n = an 2 + bn 的最值；或者求出 {a n } 中的正、负分界 项，即： ⎧a ≥ 0 当 a 1 0 ， d 0，解不等式组 ⎨ n 可得 S n 达到最大值时的 n. . 值。 ⎩a n+1 ≤ 0 ⎧a ≤ 0 当 a 1 0 ， d 0 ，由 ⎨ n 可得 S n 达到最小值时的 n 值。 ⎩ a n +1 ≥ 0 如：等差数列 {a n } ， S n = 18 ， a n + a n −1 + a n −2 = 3 ， S 3 = 1，则 n = （由 a n + a n −1 + a n − 2 = 3 ⇒ 3a n −1 = 3， ∴ a n −1 = 1 又 S3 = ( a1 + a 3 ) 3 = 3a 2 2 = 1， ∴ a 2 = 1 3 ⎛1 ⎞ ( a 1 + a n )n = ( a 2 + a n −1 ) n = ⎜ 3 + 1⎟ n = 18 ⎝ ⎠ ∴ S n = 2 2 2 ∴ n = 27 ） 44. 等比数列的定义与性质 定义： a n +1 = q （ q 为常数， q ≠ 0 ）， a n = a 1 q n −1 an 等比中项： x 、 G、 y 成等比数列 ⇒ G 2 = xy ，或 G = 177。 xy 中国教育开发网 . . 中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉 中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉 ⎧ na 1 ( q = 1) ⎪ 前 n 项和： S n = ⎨ a 1 (1 − q n ) （要注意 ! ） ( q ≠ 1) ⎪ ⎩ 1− q 性质： { a n } 是等比数列 （ 1）若 m + n = p + q ，则 a m a n = a p a q （ 2 ） S n ， S 2 n − S n ， S 3 n − S 2 n …… 仍为等比数列 45. 由 S n 求a n 时应注意什么。 （ n = 1 时， a 1 = S 1 ， n ≥ 2 时， a n = S n − S n −1 ） 46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗。 例如：（ 1）求差（商）法 1 1 如： {a n } 满足 a 1 + 2 a 2 + …… + 2。