第五章蒙特卡罗方法在计算机上的实现

第五章蒙特卡罗方法在计算机上的实现内容摘要：

(4) 光子康普顿（ Compton）散射后能量的确定 光子发生康普顿散射后，其能量分布密度函数为： 其中， K(α) 为归一因子。 ， 和 分别为光子散射前后的能量，以 m0c2 为单位， m0为电子静止质量， c 为光速。  211,1111)(1)(322 xxxxxxKxf22 )21(21421)21l n ()1(21)( K x  光子康普顿散射能量分布的抽样方法为： x 的抽样确定后 ， 散射后的能量为： 232223221121321)1(427212942711212121xxxxxxxxx ＞ ＞ ＞ ≤ ≤ ≤ xEcmxcmEmm 202013) 碰撞后散射角的随机抽样 粒子碰撞后运动方向 Ωm+1的确定，一般与散射角有关。 由已知分布抽样确定散射角后，再确定 Ωm+1。 常见的散射角分布有如下几种： (1) 质心系各向同性分布 散射角在质心系服从各向同性分布时，其抽样方 法为。 质心系散射角 θC抽样确定后， 需转换成实验室系散射角 θL。 12   C 在中子弹性散射情况下 ， 转换公式为： 其中 A 为碰撞核质量 ，。 在中子非弹性散射情况下 ， 转换公式为： 其中 ， 为第 K 个能级的阈能。 CCL AAA2112   CmKmKCmKLEAEAEA1211112LLCC  c o s,c o s K(2) 中子弹性散射勒让德 (Legendre) 多项式分布 中子弹性散射角分布常以勒让德多项式的展开形式给定。 散射角余弦 x＝ cosθ的分布密 度函数为： 其中 Pl(x) 为 l 阶勒让德多项式。 该分布即为 n 阶勒让德近似展开。 勒让德多项式由以下递推公式确定：  其它当01||)(212)( 0xxPflxfnlllxxPxPxnPxxPnxPn nnn )(1)(0)()()12()()1(1011 考虑新的分布： 当选取 x0， x1， … xn 为 Pn+1(x)＝ 0 的根，且 时， fa(x) 依照勒让德多项式展开的前 n 项与 f (x) 的展开形式相同。 因此，可以用 fa(x) 作为 f (x) 的近似分布。 nlklnlkllkxPlxPflΦ020)]([212)(212nkkka xxΦxf0)()(  在实际问题中，由于勒让德多项式展开项数不够，可能出现某个 为负值的现象。 此时可以采用如下近似分布： 其中： 对于该近似分布，可用加抽样方法进行抽样： 此时，由于偏倚抽样而引起的纠偏因子为 wK ，也就是说，粒子的权重要乘上 wK。 nkkkkknkkkknkkkaΦ|Φ|ΦwΦ|Φ|ΨxxΨxf000*||,||)()( kΦKkkKkkK ΨΨxx010, 当(3) 光子康普顿散射角分布 光子的康普顿散射角与其散射前后的能量有关 , 它的分布密度函数为： 抽样方法为： )111()( LLf   111 L4) 碰撞后运动方向 Ωm+1的确定 实验室系散射角 θL确定后，依据不同的坐标系的表现形式，有不同的确定方法。 (1) 确定方向余弦 um+1， vm+1， wm+1 mmmmmmmmmmmmmmmmmmawvubcwavvubduvbc wvauvubdvubc wu221221221 其中， 方位角 在 [0, 2π] 上均匀分布。 当 时，不能使用上述公式，可用下面的简单公式： s in,c o s,1s in,c o s 2dcaba LL022  mm vummmmawwbdvbcu111(2) 确定 Ωm+1的球坐标 (θm+1， φm+1) 设 Ωm的球坐标分别为 (θm,φm)，其中， θ为粒子运动方向与 z 轴的夹角， φ为粒子运动方向在 x y 平面上投影的方位角。 则 Ωm+1的球坐标 (θm+1,φm+1) 分别由下式确定： 111111s i ns i nc osc osc os)c os (s i ns i ns i n)s i n (c oss i ns i nc osc osc osmmmmLmmmLmmLmLmm5) 球形几何的随机游动公式 一般几何的随机游动公式可以应用到球形几何，而对球对称问题，使用特殊形式更为方便。 (1) 下次碰撞点的径向位置 rm+1的确定 两次碰撞点间的距离 L 确定之后，下次碰撞点的径向位置 rm+1的计算公式为： 设系统的外半径为 R，如 rm+1≥R，则粒子逃出系统。 mmmm LL c o s2221  rrr(2) 粒子碰撞后瞬时运动方向的确定 在球对称系统中，粒子运动方向用其与径向夹角余弦来描述。 使用球面三角公式，粒子碰撞后瞬时运动方向与径向夹角余弦 cosθm+1的计算公式为： 其中， 为在 [0, 2π] 上均匀分布的方位角， 为在 rm+1 点进入碰撞前瞬时运动方向与 rm+1 径向之间的夹角。 111c osc oss i ns i nc oss i ns i nc osc osc osmmmmmmmmLmLmmLrrrr。