第一章矢量分析与场论

第一章矢量分析与场论内容摘要：

— + —— B C u1 —— = 0； (A+B) u1 B u1 A u1 ——— = —— +—— 若： u1 = u1 (t), A t 则 : —— = —— —— A u1 du1 dt ——— = ——— A2 u1u2 A2 u2u1 ⑤ ① ② ③ ④ ⑦ ⑥ 由式⑤①可将矢量 A 的 偏导数用分量形式表示 A u1 A1 u1 A3 u1 —— = eu1—— +eu2—— +eu3—— +A1—— +A2— A3 —— A2 u1 eu1 u1 eu2 u1 eu3 u1 矢量微分 设： A (u1, u2, u3 , t)= A1eu1 + A2 eu2 + A3 eu3 对坐标单位矢量的偏导 —— = 0；  t e 时间： 空间 球： (er,eθ ,e ) r ————— = 0； 柱： (eρ ,e , ez ) (z,ρ,r,θ) ————— = 0； 直： (ex , ey , ez ) (x,y,z,ρ,r,φ,θ) —————— = 0； eρ φ —— = e e φ —— = eρ …… eρ φ —— = e 证： 将式⑴代入原式： ∵ eρ = excosφ + eysin φ e = exsinφ + eycos φ ⑴ ⑵ eρ φ —— = —— (excosφ + eysin φ) = exsinφ + eycos φ= e  φ 与式⑵ 相比，原式得证 运算 对时间的微分 对空间的微分 对坐标单位矢量的偏导 对矢量函数的偏导 设： A (u1, u2, u3 , t)= A1eu1 + A2 eu2 + A3 eu3 以上结果显示 矢量函数的偏导可转化为标量函数的偏导 A t A1 t A3 t —— = eu1—— + eu2—— + eu3—— A2 t 直： A Ax Ay Az x x x x —— = —— ex+ —— ey + —— ez ； …… 时间： 空间 柱： A Aρ Aφ Az ρ ρ ρ ρ —— = —— eρ + —— e + —— ez 对矢量函数的偏导 A Aρ Aφ Az φ φ φ φ —— = —— eρ + Aρe + —— e Aφeρ + —— ez A Ar Aθ Aφ θ θ θ θ —— = —— er + Are + —— eθ Aθer + —— e 球： A Ar Aθ Aφ r r r r —— = —— er + —— eθ + —— e = Axex + Ay ey + Az ez = Ar er + Aφeφ + Aθeθ A u1 A1 u1 A3 u1 —— = eu1—— +eu2—— +eu3—— +A1—— +A2— A3 —— A2 u1 eu1 u1 eu2 u1 eu3 u1 = Aρ eρ + Aφeφ + Az ez 三度、二式、一定理 以上主要对矢量的初等运算、微分和积分进行了讨论 下面将对数学场论作介绍 三度： 梯度、散度、旋度 二式： 格林恒等式 一定理： 亥姆霍兹定理 定义 表达式 辅助量 性质 公式 三度、二式、一定理 梯度 :是一矢量，研究数量场 u沿某路径变化率可达最大的问题。 ∵ 由数量场 u 的某点可延伸出许多条直线路径 l ,而这每一个 l 又 分别是每一族曲线在该点的切线 (如图示 )。 由导数的定义可知， 数量场 u 沿曲线只要是同一族曲线包括切线 l 在内其变化率是相 同的。 因而可将研究数量场 u 沿曲线变化的问题转化为沿直线变 化的问题。 显然只有沿着不同的直线路径 l 其变化率才不同，但 只有沿其中的一条路径 l 变化其变化率可达最大。 du dlG最大 G = grad u = —— eG 定义 在某数量场 u 中 某一点 M0 处，存在这样的一个矢量 G，函数 u 在点 M0 沿 G的方向发生变化，其变化率最大且模 G正好等于变化率， 即定义式： 我们称矢量 G为 u 在点 M0处的梯度，用符号grad u 表示。 由该定义可得如下关系： 由此定义式可导出更具实用意义的表达式 M0 — u— l l G lG u u u x y z 直： gradu = —— ex+ —— ey + —— ez u u u ρ ρφ z 柱： gradu = —— eρ + —— e + —— ez u u u r rθ rsinθφ 球： gradu = —— er + —— eθ + ———— e 表达式    x y z = (—— ex+ —— ey + —— ez )u =▽ u    ρ ρφ z = (—— eρ + —— e + —— ez )u =▽ u    r rθ rsinθφ = (—— er + —— eθ + ———— e )u =▽ u ▽ —— 哈密尔顿算符，是一矢性的微分算符 有了上面的表达式，梯度的计算就很容易进行 梯度 u u u x y z du = —— dx+ —— dy + —— dz 对 u 求全微分，则有： 对上式两边同时除以 dl ， 及又 ∵ dl /dl = el , 则有 : = (—— ex+ —— ey + —— ez )dl u u u x y z 又 ∵ dl = dxex+dyey+dzez ： —— = (—— ex+ —— ey + —— ez ) el du u u u dl x y z 推导， 以直坐标为例： 为运算方便，令： 则有 :du/dl=A el —— ex+ —— ey + —— ez=A u u u x y z A是一微分矢量。 当 u给定后 ,A在某点的大小和方向是确定不变的 el是某 路径方向与 u无关。 u可沿不同的路径 l 变化，即 el可变。 du/dl 若要达到最大，则 u必须沿 eA方向变化，即 el = eA 因而 du/dl=A el =A eA el 应改为： du/dlA最大 =A eA eA =A 这就是说，当 u沿 A方向变化时，其变化率达最大且正好 = A的模 或对上式两边同乘以 eA ： du/dlA最大 eA =A eA =A 将此与定义相比可知， A就是梯度即： G= A 证毕 若对 u 分别求柱、球坐标下的全微分 ， 就可导出相应的表达式。 辅助量 方向导数 数量场 u沿某路径 l 的变化率 称方向导数 ，记作 du/dl 性质 共有 6条 标量场 u的梯度是矢量。 简化了全微分的表达式： du =Gdl 方向导数是梯度在该 ln 方向上的一个分量的模。 ∵ 由前面的推导中已知： du/dl=G el li l2 l1 G du/dl G方向总是指向 u增大的方向，即 u2 ＞ u1 (在 G方向上 ) 证 :∵ lG du dlG最大 G = —— eG = G eG l1 l2 u1 u2 lG du dlG 即： —— = G ＞ 0 又 ∵ 各 ln的方向包括 lG 方向在内 均以 M0为起点向外， 即 各 ln上的 l2总是 ＞ l1 这就是说，若 dl = l2 l1 则 dl ＞ 0 M0 du u2 u1 dlG l2 l1 因而 ： —— = —— ＞ 0 ∴ u2 u1 ＞ 0 证毕 梯度 G方向为等位线 (或面 )的法向，即 eG = 177。 en 0u   等值面： 指在三维数量场 u(x,y,z)中， 将空间不同位置上但具有相等 场值的各点所连成的面。 其表达式为： u(x,y,z) = C 证 :∵ u(x,y,z) = C ∴ du = 0 因而： du/dl=G el =Gcos(eG ,el )= 0 又 ∵ G≠0 ∴ cos(eG ,el ) = 0 故： eG ⊥ el 又 ∵ el 为等位线 (或面 )的切线 ∴ eG = 177。 en 证毕 等值线： 指在二维数量场 u(x,y,)中， 将空间不同位置上但具有相等 场值的各点所连成的线。 其表达式为： u(x,y,) = C 性质 梯度 eG el ① ▽ u = 0或 ≠0该式都成立，即该式不能说明 梯度场是否存在。 该式说明 ： ②梯度场若存在必是无旋场。 en 公式 梯度 例：求 u=1[(x/a)2+(y/b)2]在点 Mo(a/√2 ,b/√2 )处 沿曲线 1=(x/a)2+(y/b)2的内法线的方向导数。 ▽ Cu =C▽ u ▽ C = 0。