第4章正交试验设计与数据处理

第4章正交试验设计与数据处理内容摘要：

是唯一的。 、拉丁方 感性趣 正交拉丁方。 定义：设有两个同阶的拉丁方，如果对第一个拉丁方排列着相同字母的各个位置上，第二拉丁方在同样位置上排列着不同字母，则称这两个拉丁方为互相正交的拉丁方。 BACACBCBAACBBACCBA3阶拉丁方 与 是正交拉丁方。 正交拉丁方只有两个。 四阶正交拉丁方 ABCDBADCCDABDCBABADCCDABABCDDCBA与 4阶拉丁方中 ， 正交拉丁方只有 3个； 5阶拉丁方中 ， 正交拉丁方只有 4个； 6阶拉丁方中 ， 正交拉丁方只有 5个； 数学上已经证明： n 阶拉丁方的正交拉丁方个数为：（ n－ 1） 个。 、拉丁方 、拉丁方 将字母拉丁方改写为数字拉丁方性质没有影响。 比如 3 阶拉丁方可写为： 213132321132213321与 为正交拉丁方。 3水平正交表的构造 首先考虑两个 3 水平因素 A、 B， 把它们所有水平搭配都写出来 32 ＝ 9个， 按下面的方式排成两列 ： 4列 3列 1 21 1 12 1 23 1 34 2 15 2 26 2 37 3 18 3 29 3 3这两列叫做基本列然后写出两个3 阶的正交拉丁方：123231312和123312231将 这 两 个 正 交 拉 丁 方 的 1 ， 2 ， 3 列 ， 分 别 按 顺 序 连 成 一 列 （ 共 得 两列 ） ， 放 在 两 个 基 本 列 的 右 面 ， 构 成 一 个 4 列 9 行 的 矩 阵 ， 再 配 上 列 号、行号，就得出正交表 L 9 （ 3 4 ），见表 4 2 2。 4水平正交表 ① 因素 A、 B两个 4水平的全排列 42＝ 16个，构成 基本列 ； ② 三个正交拉丁方，按 1， 2， 3， 4列分别按顺序排成 1列，共 3列，放在基本列右则，得 5列 16行矩阵。 得表 423，为 L16（ 45） 正交表。 3 4 5 1 21 1 12 1 23 1 34 1 45 2 16 2 27 2 38 2 49 3 110 3 211 3 312 3 413 4 114 4 215 4 316 4 4这两列叫做基本列这两列叫做基本列123421433412432112343412432121431234432121433412配 上 三 个 正 交 拉 丁 方 混合型正交表的构造法 混合型正交表可以由一般水平数相等的正交表通过“并列法”改造而成。 举典型的例子加以说明。 例 混合型正交表 L8（ 4 24） 的构造法。 解： （ 1）先列出正交表 L8（ 27）， 见 表 424。 （ 2） 取出 表 424中的 1， 2列 ， 将数对 （ 1， 1） 、 （ 1， 2） 、 （ 2， 1） 、 （ 2， 2） 与单数字 1， 2， 3， 4依次对应 ， 作为 新表第 1列。 （ 3） 去掉 1 2的第 3列。 交互作用。 （ 4） 4， 5， 6， 7列左移，依次变为新表的 2， 3， 4， 5列。 列号行号1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 2 2 2 23 1 2 2 1 1 2 24 1 2 2 2 2 1 15 2 1 2 1 2 1 26 2 1 2 2 1 2 17 2 2 1 1 2 2 18 2 2 1 2 1 1 24 5 6 71 2 3表 424 L8（ 27） 正交表 列号行号1 1 1 1 1 12 1 2 2 2 23 2 1 1 2 24 2 2 2 1 15 2 1 2 1 26 2 2 1 2 17 1 1 2 2 18 1 2 1 1 23 4 5 6 7列号行号1 1 1 1 1 1 12 1 1 2 2 2 23 2 2 1 1 2 24 2 2 2 2 1 15 3 2 1 2 1 26 3 2 2 1 2 17 4 1 1 2 2 18 4 1 2 1 1 21 3 4 5 6 7列号行号1 1 1 1 1 12 1 2 2 2 23 2 1 1 2 24 2 2 2 1 15 3 1 2 1 26 3 2 1 2 17 4 1 2 2 18 4 2 1 1 21 4 5 6 71 1 1 12 2 2 21 1 2 22 2 1 11 2 1 22 1 2 11 2 2 12 1 1 24 5 6 74 52 3其它正交表的构造法，与此法相同，不再赘述。 请自学 例 、例 表 2 5 L 8 （ 4 1 2 7 ）正交表 正交试验设计的方差分析 本节用方差分析法对正交试验的结果作进一步的分析。 正交试验设计方差分析的步骤与格式 设用正交表安排 m个因素的试验 ， 试验总次数为 n， 试验结果分别为 x1， x2， … ， xn。 假定每个因素有 na个水平 ， 每个水平做 a次试验。 则 n = a na， 现分析下面几个问题。 (1) 计算离差的平方和 a 总离差的平方和 ST b 各因素离差的平方和 S因 c 试验误差的离差平方和 SE (2) 计算自由度 (3) 计算平均离差平方和 (均方 ) (4) 求 F比 (5) 对因素进行显著性检验 3水平正交设计的方差分析 例 为了提高产量，需要考虑 3个因素：反应温度、反应压力和溶液浓度，每个因素都取 3个水平，具体数值如 表 431所示。 考虑因素之间的所有一级交互作用，试进行方差分析，找出最好的工艺条件。 解： 所有一级交互作用： A B、 A C、 B C； 自由度： fA ＝（ 水平数 － 1）＝ 3－ 1＝ 2＝ fB ＝ fC ； fA B＝ fA fB＝ 2 2＝ 4＝ fB C ＝ fA C 各占两列。 共有 9列 ， 选用正交表 L27（ 313） ， 见 表 432所示。 m 个因素的试验（ m＝ 9）； 试验次数（ n＝ 27）； 试验结果分别为： x1， x2， … ， xk， … ， xn； 每个因素有 na 个水平（ na＝3）； 每个水平做 a次试验（ a＝ 9）， 则 n＝ ana＝ 3 9 ＝ 27。 计算离差平方和 （ 1）总离差平方和 ST 记 nkkxnx11 （相当于例 ）      nknknkkkkT xnxxxS1 12122 1)(记为： PQSTT nkkT xQ12211 nkkxnP ST反应了试验结果的总差异，它越大，结果之间差异越大。 两方面的原因：① 因素水平变化；② 试验误差。 （ 2）各因素离差的平方和 以因素 A为例 —— SA， 用 xij 表示 A的系 i 水平第 j 个试验结果（ i＝ 1， 2， 3， …n a），（ j＝ 1…a ）。   nkkniajij xxa11 1  aniajiA xxS1 12)(aniiji xax11211221 11211111    nikniiniajijniajijAxnKaxnxaSaaa记为： PQSAA Ki —— 第 i 个水平 a 次试验结果的和。 用同样的方法可以计算其它因素的离差平方和。 对两因素的交互作用，把它当成一个新的因素看待。 如果交互作用占两列，则交互作用的离差平方和等于这两列的离差平方和之和。 比如： 21 )()( BABABA SSS  （ 3）试验误差的离差平方和 SE 设 S因 +交 为所有因素以及要考虑的交互作用的离差平方和， 因为： ET SSS   交因所以： 交因  SSS TE自由度计算 )(1 试验总次数总 nnf 各因素自由度： )(1 水平数因 aa nnf 两因素交互作用的自由度： BABA fff 试验误差自由度： 交因总  fff E见表 433 所示 计算平均离差平方和（均方） MS 在计算各因素离差平方和时，我们知道，它们是若干项平方的和，它们的大小与项数有关，因此，不能确切地反映各因素的情况。 为了消除项的影响，引入平均离差平方和： 因因因素的平均离差平方和fSEEfS方和试验误差的平均离差平见表 433 求 F 比 对结果影响程度的大小大小反映了各因素试验因因EEfSfSF 对因素进行显著性检验 给出检验水平 a， 以 Fa（ f因 ， fE） 查（附表 3） F分布表； 比较若 F ＞ Fa（ f因 ， fE）， 说明该因素对试验结果的影响显著。 F ＞ （ f因 ， fE） 影响高度显著，“ ﹡﹡ ”； （ f因 ， fE） ＞ F ＞ （ f因 ， fE） 影响显著，“ ﹡ ”； F ＜ （ f因 ， fE） 影响不显著。 计算结果见 表 43表 434所示。 2水平正交设计的方差分析 由于 2水平正交设计比较简单，它的方差分析可以采用特殊的分析方法。 2水平正交设计，各因素离差平方和为： 21212 11  nkkii xnKaS 因:,21,21 21所以上式可以简化为又因为  nk kKKxnaan  2211 KKnS 因上式同样适用于交互作用项。 例 某厂生产水泥花砖 ,其抗压强度取决于 3个因素： A水泥的含量， B水分， C添加剂，每个因素都有两个水平，具体数值如表 435a所示。 每两个因素之间都有交互作用，必须考虑。 试验指标为抗压强度 (kg/cm2),分别为 ， ， ， ， ， ，。 试安排试验，并用方差分析对试验结果进行分析，找出。