实验数据处理方法第一部分：概率论基础

实验数据处理方法第一部分：概率论基础内容摘要：

jijijijijijijijijijjiijjiiijxExExxExExExxExxxxExdxfxxxxEV  其中， i 和 j分别为变量 xi和 xj的平均值。 协方差矩阵的特征： （ 1） V(x)是对称矩阵； （ 2）对角元素是随机向量各分量的方差； 222 )]([)( iiij xExEV （ 3）非对角元素称为变量 xi和 xj的协方差，记为： cov(xi,xj) )()()(),c o v ()( jijiijjiij xExExxEVxxjiV 协方差可正、可负。 多个随机变量的分布 相关系数的定义： iijijjiiijjixxVVVxx),c o v (),( 可证： 1),(1  ji xx相关系数的含义： • 如果 =+1（或 1） ,则称 xi和 xj为完全正相关 (或负相关 )。 • 如果 =0, 则称 xi和 xj不相关。 • 如果 0,则 xi和 xj的变化趋势相同 • 如果 0,则 xi和 xj的变化趋势相反 xi xj xj xi xi xj xi xi xj xj 多个随机变量的分布 四、独立变量 (Independent variables) 如果随机向量 的联合概率密度函数可写为 ),( 21 nxxxx  )()()(),( 221121 nnn xfxfxfxxxf  则称随机变量 x1,x2,…,x n是相互独立的 对于相互独立的随机变量，它们的协方差和相关系数为零，即不相关； 反之，不成立。 0),(,0),c o v (  jiji xxxx 0)()()(),c ov ()()()()()()(),()(jijijijijjjiiijijijijijijijixExExxExxxExEdxxfxdxxfxdxdxxfxfxxdxdxxxfxxxxE 多个随机变量的分布 五、边缘概率密度函数，条件概率密度函数 边缘概率密度函数 概率密度函数 在某一子空间上的投影称为随机向量 对这一子空间的边缘概率密度函数 )(xf  x例：随机向量 对分量 x1的边缘密度函数定义为： x m a xm i nm a x2 m i n2 22111 ),()( nnxx nnxx dxdxxxxfxh 如果 x1,x2,…x n是相互独立的，则有 h1=f1(x1), h2=f2(x2),…. 即：相互独立的随机变量的联合概率密度函数可因式分解为对各分量的边缘概率密度函数之积 条件概率密度函数 )(),()|,(1121132 xhxxxfxxxxf nn （ Marginal and Conditional ) 多个随机变量的分布 例子：邱－洛（ ChewLow）图和达里兹（ Daliz）图 多个随机变量的分布 六、联合特征函数 随机向量 的联合特征函数的定义： x     nnxitxitxitxitxitxitndxdxdxxxxfeeEtttnn212121),()(),(1111111111如果 x1,x2,…x n是相互独立的，则有 )()()(),( 2121 nn tttttt  其中， (ti)为随机变量 xi的特征函数 证明：考虑两个变量的情况：如果 x1和 x2为相互独立的随机变量，则有 )()()()()(),()()(),(212122112122112211 tteEeEeeEttxfxfxxfxitxitxitxit 由联合特征函数可得到： 02121 |)()()( tsrsrsrititxxE第三章 概率分布的基本性质 随机变量的线性函数 随机变量的线性函数 niiin xaxxxg121 ),(  niiiniiiniiiniii axEaxaExaE1111][][][ jijijiniiijijjiijiniiiijijjiijiniiiiniiiiniiiniiiniiiniiiniiixxaaxVaxxEaaxEaxxaaxaExaEaxaExaExaExaV),c ov ()())([()(}))(()({})({}{]}[{][12122122212112111设 g(x1,x2,…,x n)是 n个随机变量的线性函数： 求 g(x1,x2,…,x n)的期望值和方差 期望值： 方差： 随机变量的线性函数    11 1112][ninijijjiniiiiniii VaaVaxaVniiiiniii VaxaV11][niixnx11x22,1  iiiii VnannaxV。