powerpoint数学物理方法第二篇第一章希尔伯特空间与施斗

powerpoint数学物理方法第二篇第一章希尔伯特空间与施斗内容摘要：

      消去 x 合并同类项        0112 2 1 2 2 2 1 2 2 1 0nnnnc n n c n c x                    012 2 1 02 2 2 1 2 2 1 0 , 1 , 2 , 3 ,nncn n c n c n                比较同次幂的系数 Company Logo Click to edit title style 通常取实部较大的那个根为  2 1 0 0 0c 1 2121 ,02   这个方程称之为 指标方程 ， ，较小的那个根为 这里有 112 1 , 1 , 2 , 3 ,21nncn    将 代入第二式得递推关系式：  02 1 ! !nccn 显然    100 2 1 ! !nnxy x c xn Company Logo Click to edit title style 1211022    1yx  2200n nnnnny x d x d x   由于 不为整数，因此找方程的与 线性无关的解可设为   112 nnn xndxy    212 1  nnn xdnnxy代入方程         112 1 1 01 0 114 1 2 2 02 2 2 2 1 2 1 0n n n nn n n nn n n nnnnnn n d x n d x n d x d xd d n n d n d x                        Company Logo Click to edit title style        1 0 12 0 , 2 2 2 1 2 1 0 , 1 , 2 , 3 ,nnd d n n d n d n              011,2, 1 , 2 , 3 ,21nnddddnn       0 , 1 , 2 , 3 ,2 ! !nddnn      020 2 ! !nndy x xn         121 2 0 0002 1 ! ! 2 ! !n nnnxxy x y x y x c dnn       Company Logo Click to edit title style 167。 （ Legendre）方程         021 2  xyxyxxyx 勒让德方程 0x 0x 0nnny x c x 点是勒让德方程的常点 .设方程 点领域内的解为   11nnn nxcxy    221nnn xnncxy   22 2 1 01 1 2 0n n n nn n n nn n n nc n n x c n n x c nx c x                             0112122312221302nnnn xnnxcccc Company Logo Click to edit title style 比较两边同次幂的系数       203122 1 03 2 2 1 02 1 1 0 , 2 , 3 ,nnccccn n c n n c n                    2 0 3 121 0 2 1,2 1 3 21, 2 , 3 ,21nnc c c cnnc c nnn                  由此得 Company Logo Click to edit title style 2nm        202 1 2 2 3 2 1 0 , 0 , 1 , 2 ,2!mmmc c mm                 21nm      2 1 12 2 1 4 3 2 1 ,2 1 !mmmccm           当 时，有 当 时，有                20021102 1 2 2 3 2 1 02!2 2 1 4 3 2 12 1 !mmmmmmy x c xmmmcxm                       Company Logo Click to edit title style                 21021202 1 2 2 3 2 1 02!2 2 1 4 3 2 12 1 !mmmmmmy x xmmmy x xm                     1x  1x当 时，级数都是发散的，即 这两点一般是勒让德方程的解的奇点 . Company Logo Click to edit title style 勒让德方程的本征值与本征函数 勒让德方程的本征值问题的提法 :  1, 1 1 , 0 ,1 , 2 ,l l l        12,y x y x 1, 1求在闭区间 上的有有界解，只有当其中的参数 时， 退化为多项式，成为 上的有界解 . 中将有一个  1 , 0 ,1 , 2 , 3 ,l l l     相应的多项式解是本征函数 有界条件下的本征值 : 对应本征值的本征函数 : 通常把这种多项式的最高次方 lx 的系数规定为    22!2!l llcl Company Logo Click to edit title style nllnlnl xnlnlnnlxP 220 )!2()!(!2)!22()1()(   )()( xPxy l称为勒让德多项式 0212 )()21(lll txPtxt勒让德多项式的母函数 (生成函数 ) lllll xxlxP )1(!21)( 2  dd(微分形式－罗巨格 (Rodrigues)公式 ) (级数表达式 ) (积分表达式 ?) Company Logo Click to edit title style 微分形式的证明 (利用牛顿二项。