chapter7数值积分与数值微分

chapter7数值积分与数值微分内容摘要：

(15) 或 (16) 从而有 (17) 其中 . 按外推法的思想 ,可以把 (15)看成是关于 (1)kkTT1( 1 )1[ ( ) ( ) 2 ( ( ) ) ]2kmkkkjhT f a f b f a jh   ( 1 ) 2 39。 39。 ( ) ( )12bk k kabaf x dx T h f [ , ]k ab kh/2( 1 ) ( 1 )1111 [ ( ( 2 1 ) ) ]2kmk k k kjT T h f a j h   误差为 的一个近似公式 .因此 ,复化梯形公 式的误差公式为 (18) 为消去 项 ,再取 代替 (18)式中的 , 得 (19) 2()kOh( 1 ) 2 412( ) . . .bk k ka f x d x T K h K h   2 2 2112iii k k i kiiK h K h K h  2kh 112kkhh  kh( 1 ) 2 211 211()2b iik i k i kiaif x dx T K h K h  22121144ik i kiiK h K h 用 4乘 (19)式再减去 (18)式 ,得 (20) 记 (21) 这是误差为 的外推公式 . 重复上述过程 ,将区间逐次分半 k1次后 ,可 ( 1 ) ( 1 )( 1 ) 11( ) ( )41b kkkaTTf x d x T 2221 ()3 4 1iikikiihKh 12121 2 4()3 4 1iiikiiKh( 1 ) ( 1 )( 2 ) ( 1 ) 1 , 2 , 3 , . . . , .3kkkkTTT T k n  4()Oh以得到误差为 的外推公式 (22) 当 j=2时 (23) 当 K=2时 ,有 这是 n=2的复化 Simpson公式的 .不难验证 ,对 一般的 k, ,这里 , 是 的复化 2()jOh2 , 3 , .. ., , 2 , 3 , .. .,k n j n( 1 ) ( 1 )( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )111 ( 4 )33kkk k k kTTT T T T   ( 2 ) 22 2 211[ 4 ( ( ) ( ) 2 ( ) ) 2 ( ( ) ( ) ) ]3 2 2hT f a f b f a h h f a f b       221 [ ( ) 4 ( ) ( ) ]3 h f a f a h f b   2S( 2 ) 12kkTS  12kS 12 kn ( 1 ) ( 1 )( ) ( 1 ) 1141jjjj kkkk jTTTT  Simpson公式 . 类似地 ,当 j=3时 , (24) 在实际计算中 ,经常直接应用 (23)式和形式与 (24) 式相类似的公式进行计算 . 所谓 Romberg求积方法 ,就是由上述两部分 组成 .第一部分 ,对积分区间逐次分半 k1次 ,用复 化梯形求积公式 (16)计算 ,第二部 分 ,用外推公式 (22)计算 ( 2 ) ( 2 )( 3 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )111 ( 1 6 )1 5 1 5kkk k k kTTT T T T   ( 1 ) ( 1 , 2 , ...)kTk () ( 2 , 3 , . . . , 2 , 3 , . . . , )jkT k j k 用 Romberg求积方法计算 的计算值的 过程如下 :首先 ,令 k=1,区间长度 ,用梯形 求积公式计算 (表 73中第一行 )。 区间分半 ,令 K=2,区间长度 ,先按 (16)式计算 ,再按 外推公式 (22)式计算 (表 73中第二行 )。 再区 间分半 ,令 k=3,区间长度 ,先按 (16) 式计算 ,再按 (22)式计算 (表 73中第 三行 )等等 ,逐次分半区间 k次后的计算结果如表 73所示 (见下页 ). ()ba f x d x1h b a(1)1T2112hh (1)2T(2)2T3 2 121122h h h(1)3T( 2 ) ( 3 )33,TT 表 73 : : : : ……. 表 73中 的计算按行 (k的序号 )进行 ,每行第 1个元素 用复化梯形公式 (16)计算 ,其他元 素 均按 (22)式用 与 的组 合得到 .在实际应用中 ,往往根据实际问题对计 (1)1T(1)2T(2)2T(1)3T (2)3T (3)3T1h2h3hkh (1)kT(2)kT (3)kT ()kkT(1)kT()jkT( 1)jkT  ( 1 )1 ( 2 , 3 , . . . , )jkT j k ()jkT算精确度的要求来确定区间逐次分半的次数 . 常用不等式 (25) 作为达到精确度要求的判断准则 ,这里 , 是给 定的一个小的正数 . 例 2 用 Romberg求积方法计算 (26) 的近似值 ,给定 解 首先令区间长度 ,用梯形求积公式计算 101 l n 2 0 .6 9 3 1 4 7 1 .. .1 dxx 0 .0 0 1 1 1h ( 1 ) 11 [ ( 0) ( 1 ) ] 0. 75 00 00 02hT f f  ( ) ( 1 )[]jjkkTT 区间 [0,1]分半 ,令区间长度 ,按 16式 计算 再按 (23)式计算 这时 未达到精确度要求 . 为此 ,再将区间分半 ,令区间长度 按 (16)式计算 211122hh( 1 ) ( 1 )2 1 21 ( ) 8333 3 ,2T T h f  ( 2 )21 ( 4 0 .7 0 8 3 3 3 3 0 .7 5 0 0 0 0 0 ) 0 .6 9 4 4 4 4 43T    ( 1 ) ( 2 )22[ ] 1388 89TT 321124hh 按 j=2和 j=3的外推公式 (23)和 (24),分别用 和 的组合得到 以及用 和 的组合 得到 ,即 以及 这时 , 已满足不等式 (25)的要求 . 作为积分 (26)式 的近似 ,其误差为 . ( 1 ) ( 1 )3 2 31 [ ( 0 .2 5 ) ( 0 .7 5 ) ] 0 .6 9 7 0 2 3 72T T h f f   (1)2T(1)3T (2)3T(2)3T(2)2T(3)3T( 2 ) ( 1 ) ( 1 )3 3 21 ( 4 ) 3253 83T T T  ( 3 ) ( 2 ) ( 2 )3 3 21 ( 16 )15T T T( 1 ) ( 2 )33[ ] 0063 64TT 63()Oh(3)3T下面给出用 Romberg求积方法计算 近似值的计算步骤 ,用二维数组 T的元素 存 放表 73中的 . 1 输入 :积分区间端点 2 令 ,计算 3 令 4 令 ,计算 5 for j=2,3,…,k 计算 end for (j) ()ba f x d xjkT()jkT,。 ab 1h b a 111 [ ( ) ( ) ]2hT f a f b112,2kk h h12 kkm /2( 1 ) ( 1 )1111 [ ( ( 2 1 ) ) ]2kmk k k kjT T h f a j h   ( 1 ) ( 1 )( ) ( 1 ) 1141jjjj kkkk jTTTT  6 if ,then goto 8 end if 7 令 k=k+1, ,goto 4 8 输出 9 end ( ) ( 1 )[]jjkkTT 112kkhh jkT Gauss求积公式 引言 求积公式 (1) 当求积系数 、求积节点 都可以 自由选取时 ,其代数精确度最高可以达到多少 次 ? 下面的引理可以回答上述问题 . 1( ) ( ) ( ) ( ) ( , )nbkkakI f x f x d x A f x R f  1{}nkkA  1{}nkkx  引理 1 当求积系数 和求积节点 都可以自由选取时 ,n点的求积公式 (1)的代数精 确度最高可以达到 2n1次 . 证 假设求积公式 (1)具有 m次代数精确度 , 即对任意的 m次代数多项式 求积公式 (1)的精确成立 .于是成立等式 即。