chapter4态和力学量的表象

chapter4态和力学量的表象内容摘要：

presentation for the states and dynamical variable 34        39。 39。 39。 39。 xxx x x x x x d x x x x         p p p p  在 象中， 算符的本征函数 ˆpp       39。 39。 39。 39。 xxddp x x i x x d x i x xd x d x               22239。 39。 39。 39。 239。 xxdH x x V x x xm d x     The representation for the states and dynamical variable 35                  *39。 39。 39。 39。 39。 239。 ˆ( ) ( )39。 39。 ˆ 39。 39。 39。 39。 239。 ppppppppx p x p dpdp p i p p dpdpdi p pdpp p p p p p dp p p ppH p p V i p pmp             36 例题一 求能量表象中一维无限深势阱中粒子的坐标与动量的矩阵元 解 ： 基矢 能级 当 时 ，对角元为 当 时，非对角元为 axnau ns in2 22222 anEn  nm    annadxaxnxax 022s in2 nm  amn dxa xnxa xmax 0 )( s i n)( s i n2 dxxa nmxa nmxa a  0)(c o s)(c o s1 37 aanmnmaanmnmaa 0222222 )(c o s)()(c o s)(1      2222222 )( 41)1()( 1)( 11)1(  nm a m nnmnma nmnm nmnm   anmmnixEEip nmmnnmmn222 )(21)1(0)(* ˆ( ) ( )n m n mF u x F u x d x 矩阵元的求法： The representation for the states and dynamical variable 38   1),(),(* dxtxtx  121)(nn ta1．归一化条件 量子力学公式的矩阵表示 ( , ) ( ) ( )   nnnx t a t u x1      111nnata t a tat The representation for the states and dynamical variable 39 平均值公式 dxtxxixFtxF ),(),(ˆ),(*   ˆ( ) ( ) ( ) ( )m m n nnma t u x F u x d x a t   )()( taFta nmnnmm** ˆ( ) ( ) ( ) ( ) m m n nmna t u x F a t u x d x FF  The representation for the states and dynamical variable 40  11 12 1 121 12 1 2**11()()( ) , , ( )()                        nnmm m n nF F F a tF F F a tF a t a tF F a t其中 ˆ( ) ( )m n m nF u x F u x d x 为算符 的矩阵元 ˆF在 表象中 ： Fˆ )()(ˆ xuxuFnnn dxxuFxuF nmmn )(ˆ)(* * ( ) ( )  m n nu x u x dx n m n（续 7） The representation for the states and dynamical variable 41 1122**10 0 0 0 ( )0 0 0 0 ( )( ( ) , , ( ) ) 0 0 0 00 0 0 0 ( )0 0 0 0                        nnnatatF a t a tatnnn taF2)( The representation for the states and dynamical variable 42 本征值方程 ),(),(),(ˆ txtxxixF   在 Q表象中 ， 其矩阵形式为 ： 11 12 1 1 121 22 2 2 212( ) ( )( ) ( )( ) ( )mmn n nn m nF F F a t a tF F F a t a tF F F a t a t                                        （ 1） 移项得 ： The representation for the states and dynamical variable 43 1 1 1 2 1 12 1 2 2 2 212()()0()mmn n n n mF F F a tF F F a tF F F a t                           （ m = 1， 2， 3…… ） nnmnmn taF 0)()( （ 2） 此式即为线性齐次方程组： 非零解的条件是系数行列式等于 0，即久期方程： The representation for the states and dynamical variable 44 1 1 1 2 12 1 2 2 2120nnn n n nF F FF F FF F Fi求出本征值 ( 1 , 2 , )i将每个 值分别代入矩阵方程（ 1）或（ 2），求出 , 即得本征函数 12( ) , ( ) ,iia t a ti12iiiaua( 1 , 2 , )i这样变解微分方程为解代数方程。 The representation for the states and dynamical variable 45 求解久期方程可得到一组 λ 值 它们就是 F的本征值。 把求得的 λi 分别代入 中就可以求得与这 λi 对应的本征矢 其中 i=1,2, …n, …。 , 21  n12( ( ) , ( ) , ( ) ) ,i i ina t a t a t11 12 1 121 22 2 212()()0()nnn n nn nF F F a tF F F a tF F F a t                         总结 The representation for the states and dynamical variable 46 四、薛定谔方程 ( , ) ˆ ( , ) ( 1 )xti H x tt  , ( ) ( )() ˆ( ) ( ) ( ) ( 2 )nnnnn n nnnQ x t a t u xd a ti u x a t H u xdt 表象： （ ）左边乘以 并积分 ： )(* xum() ( ) ( ) ( 3 )mn m n m n nnnd a xi a t H H a tdt 1 1 1 1 2 12 2 1 2 2 2( ) ( )( ) ( ) ( 4 )a t H H a tdi a t H H a tdt                         47 表象 表象（矩阵） 力学量平均值 本征 方程 薛定谔方程 内 积 x QdxtxxixFtxF ),(),(),(*     mnnmnm aFaF* FF 即 ),(),(),( txtxxixF     F),(),(),( txxixHtxti     Hti  dxxx )()(),( *  总结 The representation for the states and dynamical variable 48 四、例题 设已知在 和 的共同表象中，算符 和 的矩阵分别为 2ˆLzLˆ yLˆxLˆ000022。 01010101022iiiiLL yx求它们的本征值和归一化的本征函数，最后将 和 对角化。 xLˆ yLˆ解： （ 1）求 的本征值和本征函数。 xLˆ设在 和 的共同表象中， 的本征函数为 ， 为所对应的本征值。 本征方程为 2ˆL zLˆ xLˆ321aaam m,mmx mL  即 具体见教案 The representation for the states and dynamical variable 49 .01010101022321321。