北师大版七~九年级全册各章节数学知识点总结

北师大版七~九年级全册各章节数学知识点总结内容摘要：

a  0 立方根 一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3=a 那么这个数 x 就叫做 a 的立方根（或三次方根）。 表示方法：记作 3a 性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意： 33 aa  ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 四 、实数大小的比较 实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。 实数大小比较的几种常用方法 （ 1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （ 2）求差比较：设 a、 b 是实数， ,0 baba  ,0 baba  baba  0 （ 3）求商比较法：设 a、 b 是两正实数，。 1。 1。 1 babababababa  （ 4）绝对值比较法：设 a、 b 是两负实数，则 baba 。 （ 5）平方法：设 a、 b 是两负实数，则 baba  22。 五、 算术平方根有关计算 （二次根式） 含有二次根号“ ”；被开方数 a 必须是非负数。 性质： （ 1） )0()( 2  aaa )0( aa （ 2）  aa2 )0(  aa （ 3） )0,0(  babaab （ )0,0(  baabba ） （ 4） )0,0(  bababa （ )0,0(  bababa） 运算结果若含有 “ a ”形式， 必须满足：（ 1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（ 2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 六、实数的运算 （ 1） 六 种运算： 加 、 减 、 乘 、 除 、 乘方 、 开方 （ 2） 实数的运算顺序 先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 （ 3）运算律 加法交换律 abba  加法结合律 )()( cbacba  乘法交换律 baab 乘法结合律 )()( bcacab  乘法对加法的分配律 acabcba  )( 第三章 图形的平移与旋转 一、平移 定义 在平面内，将一个图形整体沿某方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。 性质 平移前后两个图形是全等图形，对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。 二 、旋转 定义 在平面内，将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角叫做旋转角。 性质 旋 转前后两个图形 是全等图形， 对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角 等于旋转角。 第四章 四边形性质探索 一、四边形的相关概念 四边形 在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。 四边形具有不稳定性 四边形的内角和定理及外角和定理 四边形的内角和定理：四边形的内角和等于 360176。 四边形的外角和定理：四边形的外角和等于 360176。 推论：多边形的内角和定理： n 边形的内角和等于  )2(n 180176。 ； 多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于 360176。 设多边形的边数为 n，则多边形的对角线共有2 )3( nn条。 从 n 边形的一个顶点出发能引（ n3）条对角线，将 n 边形分成（ n2）个三角形。 二、平行四边形 平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 平行四边形的性质 （ 1）平行四边形的对边平行且相等。 （ 2）平行四边形相邻的角互补，对角相等 （ 3）平行四边形的对角线互相平分。 （ 4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交 点。 常用点：（ 1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。 （ 2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。 平行四边形的判定 （ 1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （ 2）定理 1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （ 3）定理 2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （ 4）定理 3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 （ 5）定理 4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两条平行线的距离 两条平行线中，一 条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。 平行线间的距离处处相等。 平行四边形的面积 S 平行四边形 =底边长高 =ah 三、矩形 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 矩形的性质 （ 1）矩形的对边平行且相等 （ 2）矩形的四个角都是直角 （ 3）矩形的对角线相等且互相平分 （ 4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到矩形四个顶点的距离相等）；对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。 矩形的判定 （ 1）定义：有一个角是 直角的平行四边形是矩形 （ 2）定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形 （ 3）定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形 矩形的面积 S 矩形 =长宽 =ab 四、菱形 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 菱形的性质 （ 1）菱形的四条边相等，对边平行 （ 2）菱形的相邻的角互补，对角相等 （ 3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 （ 4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。 菱形的判定 （ 1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 （ 2）定理 1：四边都相等的四边形是菱形 （ 3）定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 菱形的面积 S 菱形 =底边长高 =两条对角线乘积的一半 五、正方形 （ 3~10分） 正方形的定义 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 正方形的性质 （ 1）正方形四条边都相等，对边平行 （ 2）正方形的四个角都是直角 （ 3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 （ 4）正方形既是中心对称图 形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称轴有四条，是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。 正方形的判定 判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种： 先证它是矩形，再证它是菱形。 先证它是菱形，再证它是矩形。 正方形的面积 设正方形边长为 a，对角线长为 b S 正方形 = 222 ba  六、梯形 （一） 梯形的相关概念 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下 底。 梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。 梯形的两底的距离叫做梯形的高。 梯形的判定 （ 1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。 （ 2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。 （二）直角梯形的定义：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。 一般地，梯形的分类如下： 一般梯形 梯形 直角梯形 特殊梯形 等腰梯形 （三）等腰梯形 等腰梯形的定义 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 等腰梯形的性质 （ 1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。 （ 2）等腰梯形同一底上的两个角相等，同一腰上的两个角互补。 （ 3）等腰梯形的对角线相等。 （ 4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。 等腰梯形的判定 （ 1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形 （ 2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 （ 3）对角线相等的梯形是等腰梯形。 （选择题和填空题可直接用） （四）梯形的面积 （ 1）如图， DEABCDSA B C D  )(21梯形 （ 2）梯形中有关图形的面积： ① BACABD SS   ； ② BOCAOD SS   ； ③ BCDADC SS   七、有关中点四边形问题的知识点： （ 1）顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形； （ 2）顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形； （ 3）顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形； （ 4）顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是菱形； （ 5）顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形； （ 6）顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形； （ 7）顺次连接对角 线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形是正方形； 八、 中心对称 图形 定义 在平面内，一个图形绕某个点旋转 180176。 ，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。 性质 （ 1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （ 2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （ 3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对 称。 九 、 四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形的关系图： 第五章 位置的确定 一、 在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。 二 、平面直角坐标系 及有关概念 平面直角坐标系 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向； x 轴和 y 轴统称坐标轴。 它们的公共原点 O 称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分 割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意： x 轴和 y 轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。 点的坐标的概念 对于平面内任意一点 P,过点 P 分别 x 轴、 y 轴向作垂线，垂足在上 x 轴、 y 轴对应的数 a， b 分别叫做点 P的横坐标、纵坐标，有序数对（ a， b）叫做点 P 的坐标。 点的坐标用（ a， b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。 平面内点的坐标是有序实数对，当 ba 时，（ a， b）和（ b， a）是两个不 同点的坐标。 平面内点的与有序实数对是一一对应的。 不同位置的点的坐标的特征 （ 1）、各象限内点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一象限 0,0  yx 点 P(x,y)在第二象限 0,0  yx 点 P(x,y)在第三象限 0,0  yx 点 P(x,y)在第四象限 0,0  yx （ 2）、坐标轴上的点的特征 点 P(x,y)在 x 轴上 0y ， x 为任意实数 点 P(x,y)在 y 轴上 0x ， y 为任意实数 点 P(x,y)既在 x 轴上，又在 y 轴上  x， y 同时为零，即点 P 坐标为（ 0， 0）即原点 （ 3）、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线 y=x）上  x 与 y 相等 点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上  x 与 y 互为相反数 （ 4）、和坐标 轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 （ 5）、关于 x 轴、 y 轴或原点对称的点的坐标的特征 点 P 与点 p’关于 x 轴对称  横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点 P（ x， y）关于 x 轴的对称点为 P’（ x， y） 点 P 与点 p’关于 y 轴对称  纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点 P（ x， y）关于 y 轴的对称点为 P’（ x， y） 点 P 与点 p’关于原点对称  横、纵坐标均互为相反数，即点 P（ x。