平面向量最新版

平面向量最新版内容摘要：

总结 第 10 页 共 26 页 （答： 30 ） 解法 2： （ 几何 运算 解法） 设 ,AB a AD b（如图） 则 DB a b ∵ a b a b   ∴ 平行四边形 ABCD 是菱形 △ ABD 是等边三角形 AC a b ∴ AC 与 AB 的夹角是 30176。 ， 即 与a a b 的 夹角是 30176。 六． 向量的运算 ： 1． 几何运算 ： ① 向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设 ,AB a BC b，那么向量 AC 叫做 a与 b 的和，即 a b A B B C A C   ； ② 向量的减法：用“三角形法则”：设 ,A B a A C b a b A B A C CB     那 么， 由减向量的终点指向被减向量 的终点。 注意：此处减向量与被减向量的起点相同。 BCADaba + bA BCab a bABC 平行四边形 法则 三角形 加 法 法 则 三角形 减 法 法 则 如 （ 1） 化简： ① AB BC CD  ___； ② AB AD DC  ____； ③ ( ) ( )A B C D A C B D   ____ 解答： ① A B B C CD A D  (由起点到终 点 )； ② A B A D D C D B D C C B    或 ()A B A D D C A B A D D C A B A C C B        ③ ( ) ( )A B C D A C B D   ( ) ( ) 0A B A C D C D B C B B C      或 ( ) ( )A B C D A C B D   ( ) ( ) 0A B B D A C C D A D A D      （答： ① AD ； ② CB ； ③ 0 ）； （ 2） 若 正方形 ABCD 的边长为 1， ,AB a BC b AC c，则 ||abc ＝ _____ 解答： ∵ a b c， 2c ∴ ||abc 2| | 2 2c （答： 22）； （ 3） 若 O 是 ABC 所在平面内一点，且满足 2O B O C O B O C O A   ，则 ABC 的形状为 ____ 解 法 1： （ 几何运算解法） ∵ 2O B O C O B O C O A    ∴ ( ) ( )O B O C O B O A O C O A    即 CB AB AC 平面向量 概念 、方法、题型、易误点及应试技巧总结 第 11 页 共 26 页 以线段 AB 和 AC 为邻边画出平行四边形， 则 AB AC 等于起点为 A 的平行四边形的对角线， ∵ C B A B A C A B A C   ， ∴平行四边形的两条对角线相等， ∴平行四边形是矩形， ∴∠ BAC 是直角， ∴△ ABC 是直角三角形， （答：直角三角形）； 解法 2：（代数法） ∵ 222,a a a a a a   ， 2O B O C O B O C O A    ∴ ( ) ( )O B O C O B O A O C O A    两边平方得： 22 22+ 2 ( ) ( ) + 2 ( ) ( )O B O C O B O C O B O A O C O A O B O A O C O A       整理得： 2 =0O A O B O A O C O A O B O C  即 ( ) ( ) = 0O B A O C O A ∴ =0AB AC ∴ AB⊥ AC ∴△ ABC 是直角三角形 （ 4） 若 D 为 ABC 的边 BC 的中点， ABC 所在平面内有一点 P ，满足 0PA BP CP  ，设||||APPD  ，则  的值为 ___ 解 法 1： 如图 ：延长 PD 至 O，使 DO=PD，连接 BO。 ∵ BD=DC， DO=PD， ∠ BDO=∠ CDP ∴△ BDO≌△ CDP ∴ OB=CP 即 OB CP ，且 2OP DP  ∵ 0PA BP CP  ， PA AP  ∴ AP BP CP而 2B P C P B P O B O P D P        即 =2A P B P C P D P ∴ | | | 2 |=2| | | |A P D PP D P D  答案：  的值为 2 （答： 2） 解 法 2： ∵ 0PA BP CP  ，即 0PA PB CP， 0BA CP， 故四边形 PCAB是平行四边形，由 D为 △ ABC 的边 BC 的中点， =2A P B P C P D P ∴ | | | 2 |=2| | | |A P D PP D P D  答案：  的值为 2 （ 5） 若点 O 是 ABC△ 的外心，且 0OA OB CO  ，则 ABC△ 的内角 C 为 ____ BCAPODDAB CPABCOABCO平面向量 概念 、方法、题型、易误点及应试技巧总结 第 12 页 共 26 页 解 法 1： ∵ O 是三角形 ABC 的外心， ∴ ==OA OB CO r (r 为三角形 ABC 外接圆的半径 ) ， ∵ OC OA OB两边平方得 2 2 2 2O C O A O B O A O B   即 2 2 2 2r r r O A O B   ∴ 212OA OB r ∴ 21 12c o s2rO B O A O A O BA O Br r r rO B O A      ∴ 0120AOB 又 ∵ 四边形 ACBO 为平行四边形，（或 0 0 01 ( 36 0 12 0 ) 12 02A CB   圆周角定理） ∴ ABC△ 的内角 C 为 120 （平行四边形对角相等） （答： 120 ）； 解 法 2： （ 几何运算解法） ∵ 0OA OB CO   ∴ OA OB OC,如图由 O 为 △ ABC 外心 结合向量加法的几何意义知四边形 OACB 为菱形， ∴∠ ACO=60176。 ， ∴△ ABC 的内角 C 等于 120176。 (6) 已知点 O 为△ ABC 外接圆的圆心，且 0OA OB CO  ，则△ ABC 的内角 A 等于 30176。 ． 考点： 向量加减混合运算及其几何意义 ． 专题： 平面向量及应用 ． 分析： 根据题意得 OA OB OC， OA=OB=OC，得出四边形 OACB 为菱形，从而求出答案来． 解：∵ 0OA OB CO  ，∴ O A O B CO O C   ， ∴四边形 OACB 是平行四边形，如图所示； 又∵ O 为△ ABC 外接圆的圆心， ∴ OA=OB=OC， ∴平行四边形 OACB 是菱形； ∴∠ CAO=60176。 ， ∴△ ABC 的内角∠ CAB=30176。 故答案为： 30176。 ． 点评： 本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据平面向量的加减运算及其几何意义，结合三角形的外接圆的性质，进行解答，是综合 （ 7） 若 O 是 ABC 所在平面内一点，且满足 ( ) ( 2 ) 0O B O C O B O C O A   ，则 一定有（ ） A. AB AC B. AC BC C. 2 2 2A B A C B C D. 2 2 2A C A B B C 解析： ∵ ( ) ( 2 ) 0O B O C O B O C O A    ∴ ( ) ( ) 0CB AB AC，记 BC 中点为 D，则 ( ) (2 ) 0CB AD  ∴ CB AD ∴ | | | |AB AC 答案：选 A. OCA BCDOBA平面向量 概念 、方法、题型、易误点及应试技巧总结 第 13 页 共 26 页 2． 坐标 运算 ：设 1 1 2 2( , ), ( , )a x y b x y，则 ： ① 向量的加减法运算 ： 12(a b x x   ， 12)yy。 ② 实数与向量的积 ：    1 1 1 1,a x y x y   。 ③ 若 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，则  2 1 2 1,A B x x y y  ， 即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。 ④ 平面向量数量积 ： 1 2 1 2a b x x y y  。 ⑤ 向量的模 ： 22 2 2 2 2| | , | |a x y a a x y    。 ⑥ 两点间的距离 ：若    1 1 2 2, , ,A x y B x y，则    222 1 2 1||A B x x y y   。 如： （ 1） 已知点 (2,3), (5,4)AB， (7,10)C ，若 ()A P A B A C R  ，则当  ＝ ____时，点 P在第一、三象限的角平分线上 解答： 设点 ( , )Pxy ∵ 点 P 在第一、三象限的角平分线上 ∴ yx ∵ (2,3), (5,4)AB， (7,10)C ， ( , )Pxy ，即 ( 2, 3)AP x y  ， (5 2 , 4 3 ) (3,1)AB    ， (7 2 ,1 0 3 ) (5 , 7)AC    且 ()A P A B A C R   ∴ ( 2, 3)xy   ( 3 , 1 ) ( 5 , 7 ) ( 3 5 , 1 7 )      即有 2 3 53 1 7xyyx    解得： 12 答案： 当 12 时，点 P 在第一、三象限的角平分线上 （答： 12 ） ； （ 2） 已知 1( 2 , 3 ) , (1 , 4 ) , ( s i n , c o s )2A B A B x y且 ， , ( , )22xy  ，则 xy 解答： ∵ 1( 2 , 3 ) , (1 , 4 ) , ( s i n , c o s )2A B A B x y且 ∴ 1 (1 2 , 4 3 ) (s in , c o s )2 xy   即1sin21cos2xy  ， , ( , )22xy  ∴ 633xyy     或， xy 6 3 6     或 xy 6 3 2     答案： xy6 或 xy 2 （答： 6 或 2 ） ； （ 3） 已知作用在点 (1,1)A 的三个力 1 2 3( 3 , 4 ) , ( 2 , 5 ) , ( 3 ,1 )F F F   ，则合力 1 2 3F F F F   的终点坐标是 平面向量 概念 、方法、题型、易误点及应试技巧总结 第 14 页 共 26 页 解答： ∵ 作用于 A 点的三个力 F1=（ 3， 4）， F2=（ 2， 5）， F3=（ 3， 1），且 A（ 1， 1）， 则合力 F=F1+F2+F3=（ 3， 4） +（ 2， 5） +（ 3， 1） =（ 8， 0）， 设合力 F=F1+F2+F3 的终点为 B（ x， y），由题意得： AB =（ 8， 0）， 即（ x， y） （ 1， 1） =（ 8， 0）， ∴ （ x， y） =（ 9， 1）． （答： （ 9,1） ） （ 4） 设 (2,3), ( 1,5)AB ，且 13AC AB， 3AD AB ， 则 C、 D 的坐标分别是 __________ 解答 1： 设 ( , ), ( , )C x y D a b ∵ 13AC AB， 3AD AB ，且 ( 2, 3)AC x y   ， ( 2, 3)AD a b  ， ( 1 2 , 5 3 ) ( 3 , 2 )AB       ∴ 1( 2 , 3) ( 3, 2 )3xy   ， ( 2, 3) 3( 3, 2 )ab    解得： ( , )xy 11(1, ),3 ( , ) ( 7,9)ab 答 案 ： 1。