同济大学第六版工程数学线性代数

同济大学第六版工程数学线性代数内容摘要：

501302050130221~520211231221312 r23100210010221~r 231024100010001~r  231024x 例 5 设321011324B ,解矩阵方程 BxxB   2 解：由 BxxB   2   BxEB 2， A=B2E，易知 0A ，从而 A 可逆， 9122692683100010001~321011324121011322)1 rBABAx （又   9122692683x。 二， 矩阵的秩 （ Rank） 在一中曾指出，    00 0~ rm xnij EaA，这表明：数 r 是 A 在初等（行）变换下一个不变量，由 A 唯一确定，它也可用另一方式描述。 设  mxnijaA,以 A 中任取 k 行 k 列   nmk ,min ，位于这些行，列交叉处得元素保持 顺序构成的 K 阶行列式，称为 A的一个 K 阶子式 (易知，共有 knkmCC 个 )。 例如011030015431A ,010301531015332  AA 设  mxnijaA，若存在一个 r 阶子式 0 ，且所有 r+1 阶子式 =0，则称阶数 r 为 A 的秩，记作 R rA 注：（ 1）即是，当 A=0 时，则 0A。 (2)显然  nmAR ,min)(0  ； （ 3） R(A)是 A 中非零子式的最高阶数；（ r+1 阶以上子式全为 0） （ 4）若 A 中有一个 r 阶子式 0 ，则 rR ；若 A 中所有 r 阶子式 =0.则 rAR )( （ 5） )()( ARAR T  (由 及行列式性质知 ) 对于  mxnijaA，当 R（ A） =m（ R（ A） =n）时，称 A 为行（列）满秩矩阵，特殊地，若 A 为 n阶方阵，则 R（ A） =n A 为满秩矩阵 A 为可逆矩阵（ 0A ） 例 1 求下列矩阵的秩 (1) 001021A。 (2) 064212100321B。 (3)00000340005213023012C 解：（ 1） R（ A） =2（列满秩） （ 2）易验明：左上角 0110 21 ，且 4 个三阶子式均为 0， R（ B） =2（降序） （ 3） C为行阶梯矩阵，易知 C的 5个四阶子式均为 0，且 0400230312 ，R（ C） =3（非零行数） 显见，行阶梯矩阵的秩 =它的非零行数问题是初等（行）变换是否改变矩阵的秩。 回答是否定的， 若 A~B，则 R（ A） =R(B) 证明：略 （参见 P67） 表明：若  mxnijaA，则 R（ A） =R（ B） =r（或将 A 化成标准形亦可） 注： 的逆命题也成立（见 P79 11） 事实上，设 R（ A） =R（ B） =r，则  00 0~ rEA唯一 ，且 BAEB r ~00 0~ 唯一 Coro, 若 可逆矩阵 P， Q 使 PAQ=B，则 R（ A） =R（ B） 注：此由 (iii)及上述 既知 例 2 （ P68 例 2）设6063324208421221A ， b=4321,求 A 与  bAB , 的秩，并求 B 的一个最高阶非零子式。 解： 00000100000120011221~13600512000240011221~43216063324208421221rrB ，由此知 R（ A） =2， R（ B） =3 上述表明 B 的最高阶非零子式为 3 阶，而 3 阶子式共有 403534 CC 个，可从 B 的行阶梯矩阵对应 3 列中寻找，例如 010510020111332202111 即为所求 例 13（ P69 例 7）设3651231121A ，已知 R（ A） =2，求λ，μ 解 : 15004340112。