导数题型方法总结解析

导数题型方法总结解析内容摘要：

21() 2g x bx x d  ，在（ 1）的条件下，是否存在实数 b ，使得函数 ()gx的图像与函数 ()fx的图像恒有含 1x 的三个不同交点。 若存在，求出实数 b 的取值范围；否则说明理由。 高 1考 1资 1源 2网 解：（ 1）∵ ()fx的图像过原点，则 (0) 0 0fc   2( ) 3 2f x ax x   ， 又∵ 1x 是 ()fx的极值点，则 ( 1 ) 3 1 2 0 1f a a         2( ) 3 2 ( 3 2 ) ( 1 ) 0f x x x x x        3( ) ( 1) 2f x f  极 大 值 2 22( ) ( )37f x f  极 小 值 （ 2）设 函数 ()gx的图像与函数 ()fx的图像恒存在含 1x 的三个不同交点， 等价于 ( ) ( )f x g x 有含 1x 的三个根，即： 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2f g d b       3 2 21 1 12 ( 1 )2 2 2x x x b x x b      整理得： 即： 3211( 1 ) ( 1 ) 022x b x x b     恒有含 1x 的三个不等实根 （计算难点来了：） 3211( ) ( 1 ) ( 1 ) 022h x x b x x b      有含 1x 的根， 23 1 ()fx 则 ()hx 必可分解为 ( 1)( ) 0x 二 次 式 ，故用 添项 配凑法因式分解， 3x 22xx 211( 1 ) ( 1 ) 022b x x b      2211( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 022x x b x x b       221( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) 02x x b x x b       十字相乘法分解：   2 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 02x x b x b x       2 11( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 022x x b x b      3211( 1 ) ( 1 ) 022x b x x b      恒有含 1x 的三个不等实根 等价于 2 11( 1 ) ( 1 ) 022x b x b    有两个不等于 1 的不等实根。 2211( 1 ) 4 ( 1 ) 04211( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 022bbbb              ( , 1 ) ( 1 , 3 ) ( 3 , )b          题 2：切线的条数问题 ====以切点 0x 为未知数的方程的根的个数 例 已知函数 32()f x a x b x cx  在点 0x 处取得极小值－ 4， 使其导数 39。 ( ) 0fx 的 x 的取值范围为 (1,3) ，求：（ 1） ()fx的解析式；（ 2）若过点 ( 1, )Pm 可作曲线 ()y f x 的三条切线，求实数 m 的取值范围． （ 1）由题意得： 239。 ( ) 3 2 3 ( 1 ) ( 3 ) , ( 0 )f x a x b x c a x x a       ∴ 在 ( ,1) 上 39。 ( ) 0fx ；在 (1,3) 上 39。 ( ) 0fx ；在 (3, ) 上 39。 ( ) 0fx 因此 ()fx在 0 1x 处取得极小值 4 ∴ 4abc   ① ， 39。 (1) 3 2 0f a b c   ② ， 39。 (3 ) 27 6 0f a b c   ③ 由 ①②③ 联立得：169abc， ∴ 32( ) 6 9f x x x x    （ 2）设切点 Q(, ())t f t ， ,( ) ( )( )y f t f t x t   2 3 2( 3 1 2 9 ) ( ) ( 6 9 )y t t x t t t t         2 2 2( 3 1 2 9 ) ( 3 1 2 9 ) ( 6 9 )t t x t t t t t t          22( 3 1 2 9 ) ( 2 6 )t t x t t t     过 ( 1, )m 2 3 2( 3 1 2 9 ) ( 1 ) 2 6m t t t t       32( ) 2 2 1 2 9 0g t t t t m      令 2239。 ( ) 6 6 1 2 6 ( 2 ) 0g t t t t t      ， 求得： 1, 2tt  ，方程 () 0gt 有三个根。 需： ( 1) 0(2) 0gg   2 3 1 2 9 01 6 1 2 2 4 9 0mm            1611mm  故： 11 16m   ； 因此所求实数 m 的范围为： ( 11,16) 题 3：已知 ()fx在给定区间上的极值点个数 则有 导函数 =0 的根的个数 解法：根分布或判别式法 例 解：函数的定义 域为 R （ Ⅰ ） 当 m＝ 4 时， f (x)＝ 13x3－ 72x2＋ 10x， ()fx ＝ x2－ 7x＋ 10，令 ( ) 0fx  ， 解得 5,x 或 2x . 令 ( ) 0fx  ， 解得 25x 可知函数 f(x)的单调递增区间为 ( ,2) 和（ 5，＋∞），单调递减区间为  2,5 ． （ Ⅱ ） ()fx ＝ x2－ (m＋ 3)x＋ m＋ 6, 要使 函数 y＝ f (x)在（ 1，＋∞）有两个极值点 , ()fx ＝ x2－ (m＋ 3)x＋ m＋ 6=0 的根在（ 1，＋∞） 根分布问题： 1 则2( 3 ) 4( 6) 0。 (1 ) 1 ( 3 ) 6 0。 3 1.2mmf m mm               ， 解得 m＞ 3 例 已知函数 23213)( xxaxf ， )0,(  aRa （ 1）求 )(xf 的单调区间；（ 2） 令 ()gx＝ 14x4＋ f（ x）（ x∈ R）有且仅有 3 个极值点，求 a 的取值范围． 解 ：（ 1） )1()( 239。  axx。