工程力学教案上

工程力学教案上内容摘要：

图 22 22  iynyyyyixnxxxx FFFFF FFFFF 21R21R （ 24） 合力在某轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。 —— 合力投影定理 2．平面汇交力系合成的解析法 应用 合力投影定理 即可求得合力 FR 的大小及方向    ixiyxyiyixyxFFFFFFFFFRR222R2RRt a n  （ 25） 式中  为合力 FR与 x 轴之间所夹的锐角。 合力 FR的指向由 ixF 、 iyF 的正负号确定。 例 21 用解析法求图 27a 所示平面汇交力系 的合力的大小和方向。 已知 F1 =100 N， F2 = 100 N , F3 = 150 N , F4 = 200 N。 解 由式（ 25）计算合力 FR 在 x、 y 轴上的投影 R 1 2 3 41 2 3 4c os 50 c os 60 c os 20100 N 64. 28 N 75 N 187 .94 N 98. 62 Nx ix x x x xF F F F F FF F F F             R 1 2 3 42340 sin 50 sin 60 sin 200 76. 60 N 129 .90 N 68. 40 N 138 .1 Ny iy y y y yF F F F F FF F F            故合力 FR的大小和方向为：     222R2RR  yx FFF 3 8ta n RR  xyFF  由于 xFR 为负值， yFR 为正值，所以合力 RF 指向第二象限，如图 27b 所示，合力的 图 27 23 作用线通过力系的汇交点 O 课程名称 工程力学 教学单元名称 2． 2 力矩和力偶 单元能力培养目标 掌握力对点 之矩、 力偶的概念、性质 ；会应用 合力矩定理； 掌握平面力偶系合成的结果和平衡方程的应用；理解掌握力的平移定理。 知识点 技能点 力对点 之矩、 力偶的概念和性质； 合力矩定理、 力的平移定理；平面力偶系合成的结果和平衡方程的应用。 单元教学设计 以生活、工程实例帮助学生对知识点 技能点的理解来完成培养目标。 单元教学方式 理论教学 作业 教材 P19 习题 1 1 24 【教学内容】 2． 2 力矩和 力偶 2． 2． 1 力对点之矩 1．力矩的概念 ： 力使物体产生绕某一点的转动效应和量。 力的大小 与力臂的乘积，是 度量力 F使物体绕 O点转动效果的物理量，称为力 F对 O点的矩，用 MO（ F）表示。 （ 1）将转动中心称为矩心。 （ 2）矩心到力作用线的垂直距离称为力臂，用符号 d 表示。 （ 3）通常规定： 力使物体绕矩心逆时针方向转动时力矩为正，反之为负。 力矩的表达式为 dFM O ）（ F 力矩的国际单位是：牛 米（ Nm）或千牛 米（ kNm）。 2．力矩的特性 ： （ 1） 力对已知点的矩不会由于力沿作用线移动而改变（这符合力的可传性原理）。 （ 2）力的作用线如通过矩心，则 力矩为零。 如果一个力的大小不为零，而它对某点的矩为零，则该力的作用线必过该点。 （ 3）相互平衡的两力，对同一点的矩的代数和为零（符合二力平衡原理）。 例 22 如下页图 所示，已知皮带紧边的拉力 FT1＝ 2000N，松边的拉力 FT2＝1000N，轮子的直径 D＝ 500mm。 试分别求皮带两边拉力对轮心 O的矩。 解 由于皮带拉力沿着轮缘的切线，所以轮的半径就是拉力对轮心 O 的力臂，即 25 2502/  Dd （ m） 于是 2 1T1T  dFFM O ）（ （ Nm） 1 2T2T  dFFM O ）（ （ Nm） 拉力 FT1 使轮逆时针转动，故其力矩为正； FT2 使轮顺时针转动，故其力矩为负。 2． 2． 2 合力矩定理 力系有一合力时，合力对某点之矩，等于各分力对同点之矩的代数和。 即  ）（）（ iOO MM FF （ 17） 在计算力矩时，有时欲求一个力对于某一矩心的矩而力臂不易计算，就可应用合力矩定理，将原力分解为两个适当的分力，分别求两分力对于该矩心的矩，再求其代数 和。 例 23 如图所示，在 ABO折杆上 A点作用一力 F，已知 a＝ 180mm， b＝ 400mm， ＝ 60， F＝ 100N。 求力 F 对 O 点之矩。 解 由力矩的定义式（ 16）可得 dFM O ）（ F 因为力臂 d值计算较繁，应用合力矩定理式（ 17），则可以较方便地计算出结果： bFaFbFaFMMM yxyOxOO  60s i n60c o s ）（）（）（ FFF 6 0 060c o s60s i n  ）（）（ abF （ Nm） 例 24 如图所示圆柱齿轮，受到与它相啮合的另一齿轮的作用力 980NnF  ，压力角 α＝ 20，齿轮节圆直径  ，试求力 Fn 对齿轮轴心 O 之矩。 解 (1)应用 力 矩公 式计 算 如图 212a， 齿轮 轴心 O 为矩 心， 力臂cos2Dd  ，则力 Fn 对 O 点之矩为 O ( ) c o s 9 8 0 N 0 .0 8 m c o s 2 0 7 3 .7 N m2n n n DM F d F           F （ 2）应用合力矩定理计算 如图 212b 所示 将力 Fn 分解为圆周力 Ft 和径向力 Fr： cossintnrnFFFF  由合力矩定理可得 ( ) ( ) ( )O n O t O rM M MF F F 因为径向力 Fr 通过矩心 O，故 ( ) 0OrM F ，于是 t( ) ( ) c o s 7 3 .7 N m22O n O t nDDM M F F       FF 26 2． 2． 3 力偶及其性质 1. 力偶的概念 ① 由两个大小相等、方向相反的平行力组成的力系，称为力偶。 ② 实践证明， 力偶只对物体产生纯转动效应 ，因此，只改变物体的转动状态。 2．力偶矩 力偶对刚体的作用效应，用力偶中的一力的大小 F与力偶臂 d的乘积 Fd 来度量 ，称为 力偶矩 ，记作 M（ F， F），简记为 M，即 dFM ），（ FF 或 dFM  力偶矩的正负号规定： 逆时针方向转动为正，顺时针方向转动为负。 力偶矩的单位与力矩的单位相同，为 Nm或 kNm。 3. 力偶的三要素 力偶对刚体的转动效应取决于 力偶矩的大小、力偶的转向和力偶作用平面的方位 ，这 三者称为 力偶的三要素。 三要素中的任何一个发生了改变，力偶对刚 体的转动效应就会改 变。 若两个力偶的三要素相同，则这两个力偶彼此等效。 4．力偶的性质 图 2 － 12 27 性质 1 力偶在任何坐标轴上的投影为零。 它表明 不能将力偶简化为一个力，或者说力偶没有合力。 即 力偶不能与一个力等效，也不能用一个力来平衡。 力偶只能与力偶等效。 也只能与力偶相平衡。 故 力偶对刚体只有转动效应，而无移动效应。 性质 2 力偶对刚体的作用效应取决于力偶的三要素，而与作用位置无关。 推论（ 1） 力偶可以在作用面及平行于作用面的平面内任意搬移，而不会改变对刚体的转动效应。 推论（ 2） 只要保持力偶矩不变，可以任意改变力的大 小和方向及力偶臂的长短，而不会改变力偶对刚体的转动效应。 注意： 上述推论只适用于刚体，而不适用于变形体。 性质 3 力偶对其作用面内任意点的矩恒等于此力偶的力偶矩，而与矩心的位置无关。 2． 2． 4 平面力偶系的合成与平衡 1．合成 作用在刚体上同一平面内的若干个力偶所组成的系统，称为 平面力偶系。 设在同平面内有两个力偶（ 1F ， 1F ）和（ 2F ， 2F ），它们的力偶臂分别为 d1和 d2，如 图（ a）所示。 则两力偶的力偶矩分别为 111 dFM  ， 222 dFM  分别将作用在 A点的两个力和 B 点的两个力进行合成（设 F3＞ F4），可得 43R FFF  43R FFF  FR与 RF 为一对等值、反向、不共线的平行力，它们组成的力偶就是原来两个力偶的合力 偶，其合力偶矩为 214343R MMdFdFdFFdFM  ）（ 合力偶矩为 28  in MMMMM 21 即 平面力偶系合成的结果为一个合力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和。 2．平面力偶系的平衡 平面 力偶系平衡的充分与必要条件是所有各分力偶矩的代数和等于零。 即 i 0M （ 210） 这就是平面力偶系的 平衡方程，应用该方程可以求解一个未知量。 例 25 多头钻床在水平工件上钻孔如图所示，设每个钻头作用于工件 上的切削力在水平面上构成一个力偶。 1 2 31 3 . 5 N m , 1 7 N mM M M    。 求工件受到的合力偶矩。 如果工件在 A、 B 两处用螺栓固定， A 和 B 之间的距离 l=，试求两螺栓在工件平面内所受的力。 解 （ 1）求三个主动力偶的合力偶矩 1 2 31 3 . 5 1 3 . 5 1 7 4 4 N miM M M M M           负号表示合力偶矩为顺时针方向。 （ 2）求两个螺栓所受的力 选工件为研究对象，工件受三个主动力偶作用和两个螺栓的反力作用而平衡，故两个螺栓的反力作用而平衡，故两个螺栓的反力 FA 与FB 必然组成为一力偶 ，设它们的方向如 218 图所示，由平面力偶系的平衡条件，有  0iM 0321  MMMlF A 解得 1 2 3 220 NA M M MF l 所以 220 NABFF ，方向如图 218 所示。 2． 2． 5 力的平移定理 定理 作用在刚体上某点的力 F，可平移到刚体内的任意一指定点，但必须同时附加一个力偶，其附加力偶矩等于原力对指定点之矩。 证 如图所示 29 ）（ FBMdFM  证毕。 力的平移定理，可以看成为 一个力分解为一个与其等值的平行力和一个位于平移平面内的力偶。 同样，利用力的平移定理 也可将一个力偶和一个位于该力偶作用面内的力，合成为一个该作用面内的合力。 合力与原力矢量相等，其作用线平移的距离为 Md F 合力的作用线在原力作用线的哪一侧应根据力偶的转向确定。 例如，用扳手和丝锥攻螺纹时，如果只在扳手的一端加力 F，如图（ a）所示，由力的平移定理可知，力 F却使丝锥弯曲，从而影响攻丝精度，甚至使丝锥 折断，因此这样操作是不允许的。 再 例如打乒乓球 30 【教学内容】 课程名称 工程力学 教学单元名称 2． 3 平面任意力系的简化 2． 4 平面力系的平衡方程及应用 单元能力培养目标 了解平面力系的简化方法及简化结果；会应用解析法计算平面力系的合力；理解平面力系平衡方程基本形式的意义；了解平面力系平衡方程其它形式及使用条件；掌握应用平面。