概率统计基础(编辑修改稿)

概率统计基础(编辑修改稿)内容摘要：

1两个值，它的分布律是 P{X=k}= pk(1p)1 k , k=0,1 (0p1), 则称 X服从 (01)分布。 (01)分布的分布率也可写成 X 0 1 p 1 p p 所谓 (01),是非此即彼 ﹐ 如合格与不合格 ﹐ 正面与反面 (二 ) 贝努里试验，二项分布 相互独立的试验 将试验 E重复进行 n次，若各次试验的结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这 n次试验是相互独立的。 贝努里试验 设试验 E只有两个可能结果： A及A， P(A)=p , P(A)= 1 p=q (0p1).将试验 E独立地重复地进行 n次，则称这一串重复的独立试验为 n重贝努里试验 ,简称贝努里试验。 以 X表示 n重贝努里试验中事件 A发生的次数，则 X是一个随机变量。 X所有可能取的为 0,1,2,…,n. { } , k 0 , 1 , 2 , . . . , nk n knP X k p qk  显然 P{X=k} 0, k = 0, 1, 2, …, n。 n0( ) (p q ) 1 nk n kknpqk   我们称随机变量 X服从参数为 n,p的二项分布，记为 X~ B(n, p) 特别，当 n=1 时二项分布化为 P{X=k}= pkq1 k , k=0,1 这就是（ 01）分布。 例 1 按规定，某种型号电子元件的使用寿命超过 1500小时的为一级品。 已知某一大批产品的一级品率为 ，现在从中随机地抽查 20只。 问 20件元件中恰有 k只一级品的概率是多少。 解 以 X记 20只元件中一极品的只数，则 X是一随机变量，且有 x~B(20,). 故有 202 0 { } ( 0 . 2 ) ( 0 . 8 ) , k 0 , 1 , 2 , . . . , 2 0kkP X kk   我们将计算结果列表如下： P{X=0}= P{X=4}= P{X=8}= P{X=1}= P{X=5}= P{X=9}= P{X=2}= P{X=6}= P{X=10}= P{X=3}= P{X=7}= P{X=k}, 当 k11 时 例 2 某人进行射击，设每次射击的命中率为 ，独立射击 400次，试求至少命中两次的概率。 解 将每次射击看成一次试验。 设击中的次数为 X，则 X~b(400,).X的分布率为 400400 { } ( 2 ) ( 8 ) , k 0, 1 , ... , 400kkP X kk于是所求概率为 P{X2}=1 P{X=0} P{X=1} = 1 ()400 400()()399 泊松 (Poisson)定理 设 0是一常数， n是任意正整数，设 np=  , 则对于任一固定的非负整数 k，有 k l i m ( 1 )k !.k n knnnn eppk  np ( n n pnp显然定理的条件 常数）意味着当 很大时 必定很小。 因此，上述定理表明当 很大 很小有以下近似式k ( ( 1 ) k ! .k n kn eppk   例 3 现在我们利用上面的近似式来计算例 2中的概率 P{X2}.因为 k { } ( 1 ) , n p 8k! k n kn eP X k p pk     88 { 0 } , { 1 } 8P X e P X e   于是因此 P{X≥ 2}≈ 19e8= (三 ) 泊松分布 (Poisson) 设 随机变量 X所有可能取的值为 0,1,2,…, 而取各个值的概率为 k { } , k 0 , 1 , 2 , . . . ,k! eP X k   其中 0是常数，则称 X服从参数为 的 泊松分布， 记为X~(). 易知， P{X=k} 0,k=0,1,2,…, 且有 0 0 0 { } 1 !! kkk k keP X k e e ekk             例 1 某车间有 300台设备，故障率 为 ，通常状况下一台设备的故障可由一个人来处理，问至少配备多少工人，才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于 . 解 设需配备 N人。 记同一时刻发生故障的设备台数为 X，则有 X~b(300,).故有 P{X N}  由泊松定理 ( = np =3) !3 03NKkke则查表可知，最小的 N为 8，即至少需配备 8名工人。 例 2 设有 80台同类型设备 ,各台工作是相互独立的 ,故障率 为 ，且一台设备的故障能由一个人来处理。 考虑配备工人的方法，其一是由 4人维护每人负责 20台：其二由 3人共同维护 80台，试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率。 NKkke03!3 1 即 !313Nkkke 解 法 1) 以 X记第 1人维护的 20台中同一时刻发生故障的台数，以 Ai 表示事件“第 i人维护的 20台中同一时刻发生故障不能及时维修”，则得 P(A1 A2 A3 A4) P(A1)=P{X2}. 而 X~b(20,),这里 = np =，故有 即有 P(A1 A2 A3 A4) 法 2）以 Y记“ 80台中同一时刻发生故障的台数”，此时 Y~b(80,),这里 = np =，故有 23! kkkk )2( XP4009 ! kkke )4( YP 三 、 连续型随机变量的概率密度 （一） 概率密度 定义 如果对于随机变量的分布函数 F(x)，存在非负的函数 f(x)，使对于任意的实数有 (1) )()(  x dttfxF则称 X为连续型随机变量，其中函数 f(x)称为 X的概率密度函数，简称概率密度。 由（ 1）知连续型随机变量的分布函数是连续函数。 例 1 设随机变量 X具有概率密度 .0 ,。