数学练习题考试题高考题教案广东省高三第一轮专题复习资料：立体几何题型与方法文科人教版

数学练习题考试题高考题教案广东省高三第一轮专题复习资料：立体几何题型与方法文科人教版内容摘要：

0)BC a， ， ， 于是2π 2s in s in622 2 c o tB C aBC a   nn ， 即 2sin 2 π0 2∵ ， π4∴ = ． 故交 π4= 时，直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 π6 ． 解法 3：（ Ⅰ ）以点 D 为原点，以 DC DB， 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 2 2 2( 0 0 0) 0 0 0 0 0 02 2 2D A a B a C a                    ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，220 ta nV a a ， ，于是 220 ta nD V a a ， ， 2 002D C a， ，(0 2 0)AB a ， ， ． 从而 (0 2 0)A B D C a ， ， 2 0 0 02 a， ，，即 AB DC ． 同理 22( 0 2 0) 0 ta n 0A B D V a a a   ， ， ， ，，即 AB DV ． 又 DC DV D ， AB∴ 平面 VCD ． 又 AB 平面 VAB ， ∴ 平面 VAB 平面 VCD ． （ Ⅱ ）设平面 VAB 的一个法向量为 ()x y z ， ，n ， A D B C V x y z 共 28 页 第 14 页 则由 00A B D V， nn，得 2022ta n 0aya x a z    ，． 可取 (tan 01)n  ， ， ，又 22 0B C a a  ， ， 于是22 ta nπ 22s in s in621 ta naBCBC a   nn ， 即 π π πsin 02 2 4    ， ，∵ ∴ =． 故交 π4 时， 即 直线 BC 与平面 VAB 所成角为 π6 ． 考点五 折叠、展开问题 例题 8．（ 2020 年辽宁高考） 已知正方形 ABCD新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:@:/ E 、 F 分别是 AB 、 CD 的中点 ,将 ADE沿 DE 折起 ,如图所示 ,记二面角 A DE C的大小为 (0 )  新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:@:/ (I) 证明 //BF 平面 ADE。 (II)若 ACD 为正三角形 ,试判断点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 是否在直线 EF 上 ,证明你的结论 ,并求角 的余弦值新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:@:/ 分析 :充分发挥空间想像能力，抓住不变的位置和数量关系，借助模型图形得出结论，并给出证明 . 解析 : (I)证明 :EF 分别为正方形 ABCD 得边 AB、 CD 的中点 , EB//FD,且 EB=FD, 四边形 EBFD 为平行四边形新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:@:/ BF//ED. ,E F A E D B F A E D平 面 而 平 面, //BF 平面 ADE新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:@:/ (II)如右图 ,点 A在平面 BCDE内的射影 G 在直线 EF 上 ,过点 A作 AG 垂直于平面 BCDE,垂足为 G, 连结 GC,GD新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:@:/ A D B C V x y 共 28 页 第 15 页  ACD 为正三角形 ,AC=AD. CG=GD. G 在 CD 的垂直平分线上 , 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上 , 过 G 作 GH垂直于 ED 于 H,连结 AH,则 AH DE ,所以 AHD 为二面角 ADEC 的平面角新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:@:/ 即 GAH . 设原正方体的边长为 2a,连结 AF,在折后图的  AEF 中 ,AF= 3a ,EF=2AE=2a,即  AEF为直角三角形 , AG EF AE AF  . 32AG a 在 Rt ADE 中 , A H D E A E A D   25AH a . 25aGH, 1cos 4GHAH 新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:@:/ 点评： 在平面图形翻折成空间图形的这类折叠问题中，一般来说，位于同一平面内的几何元素相对位置和数量关系不变：位于两个不同平面内的元素，位置和数量关系要发生变化，翻折问题常用的添辅助线的方法是作棱的垂线。 考点六 球体与多面体的组合问题 例题 9． 设棱锥 M— ABCD 的底面是正方形，且 MA＝ MD， MA⊥ AB，如果Δ AMD 的面积为 1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径 . 分析 ：关键是找出球心所在 的三角形，求出内切圆半径 . 解： ∵ AB⊥ AD， AB⊥ MA， ∴ AB⊥平面 MAD， 由此，面 MAD⊥面 AC. 记 E 是 AD 的中点，从而 ME⊥ AD. ∴ ME⊥平面 AC， ME⊥ EF. 设球 O 是与平面 MAD、平面 AC、平面 MBC 都相切的球 . 不妨设 O∈平面 MEF，于是 O 是Δ MEF 的内心 . 设球 O 的半径为 r，则 r＝ MFEMEF S MEF △2 设 AD＝ EF＝ a,∵ SΔ AMD＝ 1. ∴ ME＝ a2 .MF＝ 22 )2(aa  , 共 28 页 第 16 页 r＝22 )2(22aaaa ≤222 2＝ 2 1。 当且仅当 a＝a2，即 a＝ 2 时，等号成立 . ∴当 AD＝ ME＝ 2 时，满足条件的球最大半径为 2 1. 点评： 涉及球与棱柱、棱锥的切接问题时一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系。 注意多边形内切圆半径与面积和周长间的关系；多面体内切球半径与体积和表面积间的关系。 三、 方法总结 1． 位置关系： （ 1） 两条异面直线相互垂直 证明方法： ○1 证明两条异面直线所成角为 90186。 ； ○2 证明两条异面直线的方向量相互垂直。 （ 2） 直线和平面相互平行 证明方法： ○1 证明直线和这个平面内的 一条直线相互平行； ○2 证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行； ○3 证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。 （ 3） 直线和平面垂直 证明方法： ○1 证明直线和平面内两条相交直线都垂直， ○2 证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直； ○3 证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。 （ 4） 平面和平面相互垂直 证明方法： ○1 证明这两个平面所成二面角的平面角为 90186。 ； ○2 证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面； ○3 证明两个平面的法向量相互垂直。 2． 求距离： 求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。 （ 1） 两条异面直线的距离 求法：利用公式||||nnABd  （其中 A、 B 分别为两条异面直线上的一点， n 为这两共 28 页 第 17 页 条异面直线的法向量） （ 2） 点到平面的距离 求法： ○1 “一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。 ○2 等体积法。 ○3 向量法，利用公式||||nnABd  （其中 A 为已知点， B 为这个平面内的任意一点， n 这个平面的法向量） 3． 求角 （ 1） 两条异面直线所成的角 求法： ○1 先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面 直线所成的角，然后通过解三角形去求得； ○2 通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是 ]2,0(  ，向量所成的角范围是 ],0[  ，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。 （ 2） 直线和平面所成的角 求法： ○1 “一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。 ○2 向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角为 2 或 2。 （ 3） 平面与平面所成的角 求法： ○1 “一找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。 ○2 通过射影面积来求原射影Scos S （在其中一个平面内找出一个三角形，然后找这个三角形在另外一个平面的射影，那么这个三角形的射影面积与原三角形面积之比即为 cosα，注意到我们 要求的角为α或π－α）； ○3 向量法，先求两个平面的法向量所成的角为α，那么这两个平面所成的二面角的平面角为α或π－α。 我们现在来解决立体几何的有关问题的时候，注意到向量知识的应用，如果可以比较容易建立坐标系，找出各点的坐标，那么剩下的问题基本上就可以解决了，如果建立坐标系不好做的话，有时求距离、角的时候也可以用向量，运用向量不是很方便的时候，就用传统的共 28 页 第 18 页 方法了。 4．解题注意点 （ 1） 我们现在提倡用向量来解决立体几何的有关问题，但是当运用向量不是很方便的时候，传统的解法我 们也要能够运用自如。 （ 2） 我们如果是通过解三角形去求角、距离的时候，做到“一找二证三求”，解题的过程中一定要出现这样一句话，“∠α是我们所要求的角”、“线段 AB 的长度就是我们所要求的距离”等等。 让人看起来一目了然。 （ 3） 用向量来求两条异面直线所成角时，若求出 cosα＝ x，则这两条异面直线所成的角为α＝ arccos|x| （ 4） 在求直线与平面所成的角的时候，法向量与直线方向量所成的角或者法向量与直线的方向量所成角的补交与我们所要求的角互余，所以要 2 或 2 ，若求出的角为锐角，就用 2 ，若求出的钝角，就用 2。 （ 5） 求平面与平面所成角的时，若用第 ○2 、 ○3 种方法，先要去判断这个二面角的平面角是钝角还是锐角，然后再根据我们所作出的判断去取舍。 四、 强化训练 （一） 选择题 1． 空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一条直线上，那么经过其中三个点的平面 A．可能有 3 个，也可能有 2 个 B．可能有 4 个，也可能有 3 个 C．可能有 3 个，也可能有 1 个 D．可能有 4 个，也可能有 1 个 2． 下列命题中正确的个数是 （ ） ①三角形是平面图形 ②四边形是平面图形 ③四边相等的四边形是平面图形 ④矩形一定是平面图形 A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个 3． 设 a、 b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题 （ ） ①若  //, baba 则 ②若   aa 则,// 共 28 页 第 19 页 ③  //, aa 则 ④   则若 , baba 其中正确的命题的个数是 （ ） A． 0 个 B． 1 个 C． 2 个 D． 3 个 4． 如图所示，已知正四棱锥 S— ABCD 侧棱长为 2 ，底 面边长为 3 ， E 是 SA 的中点，则异面直线 BE 与 SC 所成角的大小为 （ ） A． 90176。 B． 60176。 C． 45176。 D． 30176。 5． 设有如下三个命题：甲：相交直线 l 、 m 都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线 l 、 m 中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交． 当甲成立时， A．乙是丙的充分而不必要条件 B．乙是丙的必要而不充分条件 C．乙是丙的充分且必要条件 D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件 6． 若 a， b， l 是两两异面的直线， a与 b 所成的角是 3 ， l 与 a、 l 与 b 所成的角都是  ， 则  的取值范围是 （ ） A． [ 65,6  ] B． [ 2,3 ] C． [ 65,3  ] D． [ 2,6 ] 7新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:@:/ 在长方。