方差分析及回归分析(编辑修改稿)

方差分析及回归分析(编辑修改稿)内容摘要：

• 由 (ns)= (12)=，得 • 故 μ1 – μ2 ， μ1 – μ3 ， μ2 –μ3的置信水平为 信区间分别为 .,ˆ,ˆ,0 0 0 0 1 ..2xxxxxxxxxxsnSE52101671 )11()( 4 kjE nnSsnt• 例 6 设在第二个例子中，四类电路的响应时间的总体均为正态分布，切割总体的方差相同，但参数未知，并且个样本相互独立。 取水平α=，检验各类电路的响应时间是否有显著差异。 )0,()(),()(),()(• 解 以 μ1 ， μ2 ， μ3 ， μ4 ， 记类型 ⅰ ， ⅱ ，ⅲ ， ⅳ 四种电路的响应时间总体平均值。 我们需要检验： • H0 ： μ1 = μ2 = μ3 = μ4 ， • H1 ： μ1 ， μ2 ， μ3， μ4不全相等 • 由于 n=18,s=4,n1 = n2 = n3 =5,n4 =3， 18386]359)9214194(51[183868 9 9 22222212..2.1 122..2  ATEsj jjAsjniijTSSSnTnTSnTXSj• 因为 (3,14)=，故在水平 H0，认为各类型电路的响应时间有显著差异。 方差来源 平方和 自由度 均方 F比 因素 误差 3 14 2825 总和 17 一元线性回归 本节的内容提纲 （一）一元线性回归的概念和数学模型 （二） a、 b的估计 （三） σ2的估计 （四）线性假设的显著性检验 （五）系数 b的置信区间 （六）回归函数 μ(x)=a+bx函数值的点估计和置信区间 （七） Y的观测值的点预测和预测区间 第三节、一元线性回归 • 两个变量之间的关系包括： 1. 确定性关系：能用函数关系表达； 2. 非确定性关系：就是相关关系。 • 回归分析：研究相关关系的一种数学工具。 一、一元线性回归 • 回归：设 y是随机变量，若对于 x的每一确定值，y有它的分布。 若 y的数学期望存在，且是 x的函数，记为 μ(x),称 μ(x)为 y关于 x的回归。 1. 预测问题：在给定的置信度下，估计出当 x取某一定值时，随机变量 y的取值情况； 2. 控制问题：在给定的置信度下，控制自变量 x的取值范围，使 y在给定的范围内取值； 回归分析的任务 • 主要是根据试验，估计回归函数，讨论点估计、区间估计、假设检验等问题。 • 设 x取值为 x1,x2,…,x n设 Y1,Y2,…,Y n为在 x1,x2,…,x n的观测结果，则称 (x1, Y1),(x2, ,Y2),…, (xn ,Yn )是一个样本。 相应的样本值是： (x1, y1),(x2, y2),…,(xn ,yn )。 1. 回归函数 μ(x)的估计。 • 在直角坐标系中描出散点图，粗略得出 μ(x) • 例 1 为研究某一化学反应过程中温度 (x,)与产品得率 y的影响。 得数据如下表： • 其散点图如右 • 从图中可以看出 它是一条直线， 因此 μ(x) 具有形式 μ(x)=a+bx 温度 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 得率 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 100 120 140 160 180 60 80 100 40 • 设 Y关于 x的回归函数为 μ(x)。 利用样本来估计μ(x)的问题称为求 Y关于 x的回归问题。 • 若 μ(x)是线性函数 μ(x)=a+bx， 此时的估计问题称为求一元线性回归问题。 • 一元线性回归模型： 设 Y~N(a+bx, σ2 )其中 a,b, σ2是未知参数，记 ε = Y（ a+bx），则 Y= a+bx + ε, ε ~N(0, σ2 ) （ 1） 称上式为一元线性回归模型。 称 a+bx为 x的线性函数，而 ε ~N(0, ζ2 )是随机误差。 二、 a、 b的估计 • 取 x的 n个完全不相同的值 x1,x2,…,xn，作独立试验，得样本 (x1, Y1),(x2, ,Y2),…,(xn ,Yn )，于是 • Y= a+bxi + εi , εi ~N(0, σ2 )；各 εi独立 （ 2） • Yi ~N(a+bxi, σ2 )， Y1,Y2,…,Y n的联合概率密度为 • 利用最大似然估计法来估计未知参数 a、 b。 令 niiiniinibxaybxayL122221])(21e x p [)21(])(21e x p [21niii bxaybaQ12)(),(• 则变为求 Q(a,b)的最小值。 • 令 • 得方程组： • 称这个方程组为正规方程组。 0)(20)(211niiiiniiixbxaybQbxayaQniiiniiniiniiniiyxbxaxybxna112111)()()(• 正规方程组的系数行列式为 • 故正规方程组有唯一一组解    niininiiiniiniiniixxnxxnxxxn121 1221211 0)()(      xbyxnbynaxxnyyxxxxnyxyxnbniiniiniiniiininiiinininiiiiiˆˆ1ˆ)())(()())((ˆ111211 1221 1 1niinii ynyxnx111,1这里• 这时我们把 作为回归函数μ(x)=ax+b 的估计。 称为 Y关于 x的经验回归函数。 • 称方程 为经验回归方程，简称回归方程。 • 也可以把经验回归方程写为 • 若记。