关于解决嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略的问题数学建模论文

关于解决嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略的问题数学建模论文内容摘要：

Nlt L tt N N L t t t  0,1,...,lN 容易验证 1()0lj ljt lj    （ 9） 这样就可以构造 ()Ft 的 N次 Lagrange 插值多项式 ()NFt： 0( ) ( ) ( )NNlllF t F t t  （ 10） 根据式（ 9），可得： ( ) ( )NF tk F tk 0,1, ,kN 对式（ 10）求微分，即可得插值函数 ()NFt在配置点 kt 处的导数 0( ) ( )NNm m l llF t D F t  式中 ()mlDD 是一个 ( 1) ( 1)NN   矩阵： ( 1 ) ( 1 )()( ) ( )( 1 )0() 4( 1 )40NmNm l N NLtmltm tl L tlNNmlDDNNm l Nothe r          （ 11） 使用伪光谱方法的一个重要步骤是将状态量 ()xt 和 ()ut 在配置点 kt 离散化，即构建 kt 和()ut 的 N次 Lagrange 插值多项式： N0( )= ( )N lllx t a t 8 0( ) ( )Nlllu t b t la 和 lb 是待求 1N 维变量，分别为 ()xt 和 ()ut 在配置点的值，即： ( ) ( ) , ( ) ( )NNk k k k k ka x t x t b u t u t    将状态量和控制量离散后，原最优控制问题的运动微分方程（见式（ 5））可以表示为 ( ) ( ( ) , ( ) ) 0 , 1 , . . . ,N N Nx tk f x tk u tk k N （ 12） 边值条件（见式（ 6））可以表示为 0( 1 ) , ( (1 ) ) 0NNx x x   （ 13） 轨道约束（见式（ 3））可以表示为 ( ( ) , ( ) ) 0 1 , 2 , . . . ,NNjC x tk u tk j c （ 14） 性能指标（见式（ 8））可以表示为 11( ( 1 ) ( ( ) , ( ) )N N N NJ h x g x t u t d t  （ 15） 记 0 ( 1 ) 0 ( 1 )( ) ( , . . . , ) ( ) ( , . . . , )TTik i k k n k ik i k k l ka x tk a a a b u tk b b b    使用伪光谱方法的另一个重要步骤是将性能指标式（ 15）离散化：用 GaussLobatto积分式近似的积分项，即 101 ( ( ) , ( ) ) ( ( ) , ( ) )NN N N Nkkg x t u t d t g x tk u t    则 1001( ( 1 ) ) ( ( ) , ( ) ) ( ) ( ( ) , ( ) ) ( ) ( , )NNN N N N N NN k N k k kkkJ h x g x t u t d t h a g x tk u tk h a g x b      其中权重  221 0 , 1 , .. .,( 1 ) ()k Nw k NNN L tk    约束式（ 12）可以重新写成 ( ) ( ( ) , ( ) ) 0 0 , 1 , .. .,N NNm l ll D x t f x tk u tk k N    约束式（ 11）可以重新写成 ( ( ) , ( ) ) 0 0 , 1 , ... , 0 , 1 , ... ,NNiC x tk u tk j c k N   通过上述处理，原最优问题 OPT1 可以由如下约束参数优化问题（用 OPT2 表示）表述： 9 寻找 0 1 0 1( , , . . . , ) ( , , . . . , )NNa a a a b b b b、 使 0( ) ( , )NNN k k kkJ h a g a b   取极小值，并满足不等式约束（ 13）和不等式约束（ 14）。 （ 2）乘子发和 BFGS 法 本文采用乘子法处理 OPT2 的约束条件，再应用变尺度法 BFGS 求解处理后的优化问题。 下面以求解无约束参数优化问题 min Xf（ ） （ X 为待优化的参数）为例，简要的介绍BFGS 方法。 为了书写方便，记 1g ( ) , ( )k k k kf X G f X。 BFGS 算法的基本思想是在 1kX 处，按某种规则产生一个正定对称矩阵 1kB ： 111 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )T T TTk k k k k kkk T T Tk k k k k kX g X g X XB I B IX g X g X g                 其中 11,k k k k k kg g g X X X     。 kX 和 1kX 为连续的两个迭代点。 以 11 1 1k k kP B g  作为 1kX 处的搜索方向。 仿真计算及结果分析 嫦娥三号卫星的发动机比冲 2940 /I m s ，轨道边界条件为状态初始值和终端约束值见表一。 性能指标为软着陆过程中所消耗推进剂最少，即： ()J M tf 表一 状态量边界值及终端约束满足情况 边界值 速度 /( / )ms 高度 /m 轨道倾角 /() 质量 /kg 0()xt 1670 15000 Free 2400 ()fxt 57 3000 2245 ()| fttxt 0 2400 90 2231 约束终端的情况见表一：终端质量为 2231kg ；整个飞行时间为。 仿真得到的优化轨道如图 1— 4 所示，分别为速度变化曲线、轨道倾角变化曲线、高度变化曲线和质量变化曲线。 优化控制量变化曲线如图 5 和图 6所示，分别为推力攻角变化曲线和推进剂消耗率变化曲线。 10 从表一和图 1— 6中可以看出优化轨道变化平缓，能很好地收敛到终端约束值，且精度较高；优化控制推力攻角和推进剂消耗率变化平缓，无突变且能很好满足控制量约束，即整个飞行轨道是可控制的。 图 1 速度变化曲线 图 2 轨道倾角变化曲线 图 3 高度变化曲线 图 4 质量变化曲线 图 5 推力攻角变化曲线 图 6 推进剂消耗率变化曲线 [3] 七、基于高程图数据的危险区识别算法 识别算法的模型建立 依据附件 3 的距月球 2400m 的高程图，把月球表面划分为 10 10mm 的区格。 通过就算每个区格的粗糙度 () 、 坡度 () 及其预定的着路点的距离 ()l ，进行适当加权，从而优选最佳的安全着陆点。 定义每个区格内所有样点的方差  ，作为该网格的粗糙度。 将每个区格平均划分成九个小的单位，取出每一个小单位的角位置四个点，任取三个点可以组成一个平面，计算这个平面与月球的水平夹角 。 可以得出四个坡度 值 1 2 3 4, , ,    ，在每一个小单位中 11 都可以得到相应的 1 2 3 4, , ,i i i i    ，求对应的  的均值，作为该网格的坡度值。 借助 MATLAB编程即可确定最佳的着陆策略。 距月球 2400m 与 100。