高考全国百所名校数学压轴题精选

高考全国百所名校数学压轴题精选内容摘要：

1 的等差数列 , 1 2 ( 1) 1n nnb     ,即 11nb n . ………………………………8分 (Ⅲ ) 1 时 , 11()2 nna , 111( 1 ) ( )2 nnn nc a nb     …………………………9 分 211 1 11 2( ) 3 ( ) ( )2 2 2 nnTn       231 1 1 1 12( ) 3 ( ) ( )2 2 2 2 2 nn      相减得 211 1 1 1 1 11 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 [ 1 ] ( )2 2 2 2 2 2n n n nnT n n         1（ ）2 21114 ( ) ( ) 422nnnTn    , …………………………12分 又因为 11( ) 02 nn , nT 单调递增 , 2 2,nTT   故当 2n 时 , 24nT. ……………………………………………………14 分 10.【 东北育才学校 2020 届高三第三次模拟考试（ 理 ） 24.】 如右图（ 1）所示，定义在区间 D上的函数 )(xf ，如果满足：对 xD ，  常数 A，都有 ()f x A 成立，则称 函数 ． ． ()fx在 ．区间 ． ． D 上有 ． ． 下界 ． ． ，其中 A 称为 函数的下界 ． ． ． ． ． . （提示：图 (1)、（ 2）中的常数 A 、 B 可以是正数，也可以是负数或零） （ Ⅰ ）试判断函数 3 48()f x x x在 (0, ) 上是否有下界。 并说明理由； （ Ⅱ ）又如具有右图（ 2）特征的函数称为在区间 D 上 有上界 . 请你类比函数有下界的定义，给出函数 ()fx在区间 D 上有上界的定义，并判断（ Ⅰ ）中的函数在 ( ,0) 上是否有上界。 并说明理由； （ Ⅲ ）若函数 ()fx在区间 D 上既有上界又有下界，则称函数 ()fx在区间 D 上有界，函数 ()fx叫做有界函数．试探究函数 3() bf x ax x （ 0,a 0b ,ab是常数）是否是[ , ]mn （ 0, 0,mnm 、 n 是常数）上的有界函数。 【解析】： 24．（ I）解法 1： ∵ 2248( ) 3f x x x ，由 ( ) 0fx  得 224830x x， 4 16,x  ∵ (0, )x  ， ∴ 2x ， 2 分 ∵ 当 02x时， 39。 ( ) 0fx ， ∴ 函数 )(xf 在（ 0， 2）上是减函数； 当 2x 时， 39。 ( ) 0fx ， ∴ 函数 )(xf 在（ 2，＋  ）上是增函 数； ∴ 2x 是函数的在区间（ 0，＋  ）上的最小值点，m in 48( ) ( 2) 8 322f x f    ∴ 对 (0, )x   ，都有 ( ) 32fx ， 4 分 即在区间（ 0，＋  ）上存在常数 A=32,使得对 (0, )x   都有 ()f x A 成立， ∴ 函数 3 48()f x xx在（ 0，＋  ）上有下界 . 5 分 [解法 2： 0x 3 3 344 8 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6( ) 4 3 2f x x x xx x x x x x x           当且仅当 3 16x x 即 2x 时 “＝ ”成立 ∴ 对 (0, )x   ，都有 ( ) 32fx ， 即在区间（ 0，＋  ）上存在常数 A=32,使得对 (0, )x   都有 ()f x A 成立， ∴ 函数 3 48()f x x x在（ 0，＋  ）上有下界 .] （ II）类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义： 定义在 D 上的函数 )(xf ，如果满足：对 xD ，  常数 B，都有 ()fx≤B成立，则称函数 )(xf 在 D 上有上界，其中 B 称为函数的上界 . 7 分 设 0,x 则 0x，由（ 1）知，对 (0, )x   ，都有 ( ) 32fx ， ∴ ( ) 32fx ， ∵ 函数 3 48()f x x x为奇函数， ∴ ( ) ( )f x f x  ∴ ( ) 32fx， ∴ ( ) 32fx 即存在常数 B=－ 32，对  ( ,0)x ，都有 ()f x B , ∴ 函数 3 48()f x x x在（－  ， 0）上有上界 . 9 分 （ III） ∵ 22( ) 3 bf x ax x ， 由 ( ) 0fx  得 2230bax x， ∵ 0, 0ab ∴ 4 ,3bx a ∵ [ , ] (0, )mn  ， ∴ 4 3bx a ， 10 分 ∵ 当 403bx a时， 39。 ( ) 0fx ， ∴ 函数 )(xf 在（ 0， 43ba）上是减函数； 当 43bx a时， 39。 ( ) 0fx ， ∴ 函数 )(xf 在（ 43ba，＋  ）上是增函数； ∴ 43bx a是函数的在区间（ 0，＋  ）上的最小值点， 3344444( ) ( ) 33 3 33b b bf a abaa ba  11 分 ① 当 4 3bm a 时，函数 )(xf 在 [ , ]mn 上是增函数； ∴ ( ) ( ) ( )f m f x f n ∵ m 、 n 是常数， ∴ ()fm、 ()fn都是常数 令 ( ) , ( )f m A f n B, ∴ 对 [ , ]x mn ，  常数 A,B,都有 ()A f x B 即函数 3() bf x ax x在 [ , ]mn 上既有上界又有下界 12 分 ② 当 4 3bn a 时函数 )(xf 在 [ , ]mn 上是减函数 ∴ 对 [ , ]x mn 都有 ( ) ( ) ( )f n f x f m ∴ 函数 3() bf x ax x在 [ , ]mn 上有界 .13 分 ③ 当 4 3bmna时，函数 )(xf 在 [ , ]mn 上有最小值 min()fx ＝ 3344444( ) ( ) 33 3 33b b bf a abaa ba   令 344 33A ab ,令 B= ()fm、 ()fn中的最大者 则对 [ , ]x mn ，  常数 A,B,都有 ()A f x B ∴ 函数 3() bf x axx在 [ , ]mn 上有界 . 综上可知函数 3() bf x axx是 [ , ]mn 上的有界函数 14 分 11.【东北育才、天津耀华、大连育 明、哈三中 2020 年四校第一次高考模拟联考（理） 22．】（本小题满分 12 分）如图，已知双曲线322 yx =1 的两个焦点为 F1， F2，两个顶点为 A1，A2，点 ),0( bP 是 .0,0, 2121  PAPAPFPFy 且轴正半轴上一点 （ I）求实数 b 的取值范围； （ II）直线 PF1， PF2 分别与双曲线各交于两点，求以这四个交点为顶点的四边形的面积S 的取值范围。 【解析】： （ 1） A1（ 1， 0）， A2（ 1， 0）， F1（ 2， 0）， F2（ 2， 0） 4,0),2(),2(,0 221  bbbPFPF 即 1,0),1(),1(,0 221  bbbPAPA 即 21,41 2  bb …………4 分 （ II）设 )2(2:1  xbyPF 直线 PF1 与双曲线交于 21212211 ),(),( yyxxyxCyxA  且不妨设 直线 PF2 与双曲线交于 ),(),( 4433 yxDyxB 0)3(44)12(33)2(2 222222 bxbxbyxxby 令 040 2  b 2221 124 bbxx  2221 12 )3(4 bbxx  …………6 分 ,1221,21 1  bkb PF 而 渐近线渐近线 kkk PF 13 直线 PF1 与双曲线交于两支上的两点，同理直线 PF2 与双曲线交于两支上的两点 则 ))(22(211212 yyxxS A B C D …………8 分 ]4)[(2)(2)(2)(212212121212 xxxxbxxbxxbxx  22322222)12( )4(72]12 )3(16)12 4[(2 b bbbbbbb   …………10 分 令 ,0)12( 4848)(,)12( 4)( 3224223   bbbbfb bbbf 则 )2,1()( 在bf 递增 又 41)2(,1215)1(  ff )18,121360(S …………12 分 12.【安徽省示范高中皖北协作区 2020 年高三联考（理） 22】（本小题 14 分）设函数 ( ) ( 1 ) l n ( 1 ) , ( 1 , 0 )f x x a x x x a       （ Ⅰ ）求 ()fx的单调区间； （ Ⅱ ）当 1a 时，若方程 ()f x t 在 1[ ,1]2上有两个实数解，求实数 t的取值范围； （ Ⅲ ）证明：当 mn0 时， (1 ) (1 )nmmn  。 【解析】： 2（ Ⅰ ） / ( ) 1 ln ( 1)f x a x a    ① 0a 时， /( ) 0fx ∴ ()fx在（ —1， + ）上市增函数 ② 当 0a 时， ()fx在 1( 1, 1]aae上递增，在 1[ 1, )aae    单调递减 （ Ⅱ ）由（ Ⅰ ）知， ()fx在 1[ ,0]2 上单调递增，在 [0,1] 上单调递减 又 1 1 1( 0) 0 , ( 1 ) 1 l n 4 , ( ) l n 22 2 2f f f       ∴ 1(1) ( ) 02ff   ∴ 当 11[ , ln 2, 0)22t   时，方程 ()f x t 有两解 （ Ⅲ ）要证： (1 ) (1 )nmmn   只需证 ln (1 ) ln (1 ),n m m n   只需证 ln( 1 ) ln( 1 )mn 设 ln( 1 )( ) , ( 0)xg x xx， 则 /22l n (1 ) l n (1 )1()(1 )x x xxxgx x x x   由（ Ⅰ ）知 (1 ) ln(1 ) x x x  在 (0, ) 单调递减 ∴ (1 ) ln (1 ) 0x x x   ，即 ()gx是减函数，而 mn ∴ ( ) ( )g m g n ，故原不等 式成立。 13.【安徽省合肥七中 2020 届高三第五次月考（ 理 ） 22．】 (本小题满分 14 分 ) 椭圆 )0(12222  babyax的左、右焦点分别为 F F2，过 F1 的直线 l与椭圆交于A、 B两点 . （ 1）如果点 A 在圆 222 cyx  （ c 为椭圆的半焦距）上，且 |F1A|=c，求椭圆的离心率； （ 2）若函数 )10(lo g2  mmxy m 且的图象，无论 m 为何值时恒过定点（ b， a）， 求 BFAF 22  的取 值范围。 【解析】：（ 1）∵点 A 在圆 为一直角三角形上 21222 , FAFcyx  ，。